Giải mục 4 trang 30,31,32 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

TH3

Trả lời câu hỏi Thực hành 3 trang 32 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = x - \frac{1}{x}\);

b) \(y =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\);

c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\).

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số.

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số.

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu, cực trị (nếu có) của hàm số.

− Tìm giới hạn tại vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số.

− Xác định các điểm cực trị (nếu có), giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ.

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) \(y = x - \frac{1}{x}\)

* Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

* Chiều biến thiên:

\(y' = 1 + \frac{1}{{{x^2}}} \ge 0\forall x \in D\) nên hàm số đồng biến trên D.

* Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - \frac{1}{x}) =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } (x - \frac{1}{x}) =  - \infty \).

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (1 - \frac{1}{{{x^2}}}) = 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } (x - \frac{1}{x} - x) = 0\) nên y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} (x - \frac{1}{x}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} (x - \frac{1}{x}) =  + \infty \) nên x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

* Bảng biến thiên:

Ta \(y = 0 \Leftrightarrow x - \frac{1}{x} = 0 \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (1;0).

b) \(y =  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}\)

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \).

* Chiều biến thiên:

\(y' =  - 1 + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 0\end{array} \right.\).

Trên các khoảng (\( - \infty \); -2), (0; \( + \infty \)) thì y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó. Trên khoảng (-2; -1) và (-1; 0) thì y' > 0 nên hàm số đồng biến trên khoảng đó.

* Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  + \infty \)

\(a = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - 1 + \frac{2}{x} - \frac{1}{{{x^2} + x}}) =  - 1;b = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} + x) = 2\) nên y = -x + 2 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} ( - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}}) =  + \infty \) nên x = -1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

* Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 1 nên (0;1) là giao điểm của y với trục Oy.

Ta có: \(y = 0 \Leftrightarrow  - x + 2 - \frac{1}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\\x = \frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\end{array} \right.\).

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (\(\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\); 0) và (\(\frac{{1 + \sqrt 5 }}{2}\);0).

c) \(y = \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}}\)

* Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{  - 1\} \).

* Chiều biến thiên:

\(y' = \frac{{ - {x^2} - x - 3}}{{{{(x + 1)}^2}}} < 0\) \(\forall x \ne  - 1\) nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng \(\left( { - \infty ; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1; + \infty } \right)\).

* Giới hạn và tiệm cận:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =  + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =  - \infty \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {y - ( - x)} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} - ( - x)} \right) = 0\) nên đường thẳng y = -x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =  - \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ + }} \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} =  + \infty \) nên đường thẳng x = -1 là tiệm cận đứng  của đồ thị hàm số.

* Bảng biến thiên:

* Đồ thị:

\(y = 0 \Leftrightarrow \frac{{ - {x^2} - x + 2}}{{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 2\\x = 1\end{array} \right.\)

Đồ thị giao trục Ox tại điểm (-2;0) và (1;0).

Đồ thị giao trục Oy tại điểm (0;2).

Tâm đối xứng của đồ thị là điểm I(-1;1).

Các trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận x = -1 và y = -x.