Giải mục 3 trang 28,29,30 SGK Toán 12 tập 1 - Chân trời sáng tạo

TH2

Trả lời câu hỏi Thực hành 2 trang 30 SGK Toán 12 Chân trời sáng tạo

Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

b) $y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}$

c) $y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}$

Phương pháp giải:

Bước 1. Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2. Xét sự biến thiên của hàm số

− Tìm đạo hàm y', xét dấu y', xác định khoảng đơn điệu của hàm số.

− Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số

− Lập bảng biến thiên của hàm số.

Bước 3. Vẽ đồ thị của hàm số

− Xác định các giao điểm của đồ thị với các trục toạ độ

− Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị hàm số (nếu có).

− Vẽ đồ thị hàm số.

Lời giải chi tiết:

a) $y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\}$

• Chiều biến thiên:

$y' = \frac{{ - 2}}{{{{(x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D$nên hàm số nghịch biến trên D

• Tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 1$ nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \frac{{x + 1}}{{x - 1}} =  - \infty$ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = -1 nên (0; -1) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{{x + 1}}{{x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 1$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-1; 0)

b) $y = \frac{{2x}}{{3x - 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ \frac{1}{3}\}$

• Chiều biến thiên:

$y' = \frac{{ - 2}}{{{{(3x - 1)}^2}}} \le 0\forall x \in D$ nên hàm số nghịch biến trên D

• Tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3};\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{2x}}{{3x - 1}} = \frac{2}{3}$ nên y = $\frac{2}{3}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ + }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} =  + \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\frac{1}{3}}^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} =  - \infty$ nên x = $\frac{1}{3}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = 0 nên (0; 0) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{{2x}}{{3x - 1}} = 0 \Leftrightarrow x = 0$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (0; 0)

c) $y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 2\}$

• Chiều biến thiên:

$y' = \frac{7}{{{{(2 - x)}^2}}} \ge 0\forall x \in D$ nên hàm số đồng biến trên D

• Tiệm cận:

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} =  - 1;\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{5 + x}}{{2 - x}} =  - 1$ nên y = -1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \frac{{5 + x}}{{2 - x}} =  - \infty ;\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{2x}}{{3x - 1}} =  + \infty$ nên x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

• Bảng biến thiên:

Khi x = 0 thì y = $\frac{5}{2}$ nên (0; $\frac{5}{2}$) là giao điểm của đồ thị với trục Oy

Ta có: $y = 0 \Leftrightarrow \frac{{5 + x}}{{2 - x}} = 0 \Leftrightarrow x =  - 5$

Vậy đồ thị của hàm số giao với trục Ox tại điểm (-5; 0)