Giải câu hỏi mở đầu trang 74 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

Một chiếc máy quay phim ở đài truyền hình được đặt trên một giá đỡ ba chân với điểm đặt P(0;0;4) và các điểm tiếp xúc với mặt đất của ba chân lần lượt là ${Q_1}\left( {0; - 1;0} \right)$, ${Q_2}\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right)$, ${Q_3}\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2};\frac{1}{2};0} \right)$ (Hình 35). Biết rằng trọng lượng của máy quay là 360 N. Làm thế nào để tìm được tọa độ của các lực $\overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}$, $\overrightarrow {{F_3}}$ tác dụng lên giá đỡ?

Lời giải chi tiết

Ta có:

$\left| {\overrightarrow {{Q_1}O} } \right| = \sqrt {{{(0 - 0)}^2} + {{( - 1 - 0)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1$;

$\left| {\overrightarrow {{Q_2}O} } \right| = \sqrt {{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1$;

$\left| {\overrightarrow {{Q_3}O} } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 0} \right)}^2} + {{\left( {\frac{1}{2} - 0} \right)}^2} + {{(0 - 0)}^2}} = 1$.

Do đó ${Q_1}O = {Q_2}O = {Q_3}O = 1$, suy ra O là trọng tâm tam giác ${Q_1}{Q_2}{Q_3}$.

Khi đó $\overrightarrow {P{Q_1}} + \overrightarrow {P{Q_2}} + \overrightarrow {P{Q_3}} = 3\overrightarrow {PO}$ (tính chất trọng tâm).

Mặt khác, dễ dàng chứng minh độ dài các giá đỡ $P{Q_1} = P{Q_2} = P{Q_3}$ (do các tam giác vuông $PO{Q_1}$, $PO{Q_2}$, $PO{Q_3}$ bằng nhau). Các lực $\overrightarrow {{F_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}}$, $\overrightarrow {{F_3}}$ cùng phương với các giá đỡ và có độ lớn bằng nhau nên ta có tỉ lệ:

$\frac{{\left| {\overrightarrow {{F_1}} } \right|}}{{P{Q_1}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_2}} } \right|}}{{P{Q_2}}} = \frac{{\left| {\overrightarrow {{F_3}} } \right|}}{{P{Q_3}}} = k$ và $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {P{Q_1}}$, $\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {P{Q_2}}$, $\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {P{Q_3}}$.

Từ $\overrightarrow {P{Q_1}} + \overrightarrow {P{Q_2}} + \overrightarrow {P{Q_3}} = 3\overrightarrow {PO}$ đã chứng minh, ta được:

$k\overrightarrow {P{Q_1}} + k\overrightarrow {P{Q_2}} + k\overrightarrow {P{Q_3}} = 3k\overrightarrow {PO}$

$\Leftrightarrow \overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = 3k\overrightarrow {PO}$.

Mà $\overrightarrow {PO} = (0 - 0;0 - 0;0 - 4) = (0;0; - 4)$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = (0;0; - 12k)$.

Giả sử $\vec P$ là trọng lực tác động lên cả 3 giá đỡ. $\vec P$ là lực vuông góc với mặt phẳng (Oxy), hướng xuống dưới (ngược chiều với trục Oz) nên tọa độ của $\vec P= (0;0; - 360)$.

Suy ra $\overrightarrow {{F_1}} + \overrightarrow {{F_2}} + \overrightarrow {{F_3}} = \vec P \Leftrightarrow  - 12k =  - 360 \Leftrightarrow k = 30$.

Vậy $\overrightarrow {{F_1}} = k\overrightarrow {P{Q_1}}  = \left( {30.0;30.( - 1);30.( - 4)} \right) = \left( {0; - 30; - 120} \right)$;

$\overrightarrow {{F_2}} = k\overrightarrow {P{Q_2}}  = \left( {30.\frac{{\sqrt 3 }}{2};30.\frac{1}{2};30.( - 4)} \right) = \left( {15\sqrt 3 ;15; - 120} \right)$;

$\overrightarrow {{F_3}} = k\overrightarrow {P{Q_3}}  = \left( { - 30.\frac{{\sqrt 3 }}{2};30.\frac{1}{2};30.( - 4)} \right) = \left( { - 15\sqrt 3 ;15; - 120} \right)$.