Giải mục 1 trang 60 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Hoạt động 1

Tính vận tốc tức thời của viên bi tại thời điểm ${x_0} = 1s$ trong bài toán tìm vận tốc tức thời.

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức đã cho ở bài toán tìm vận tốc để tính.

Lời giải chi tiết:

$v({x_0}) = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to {x_0}} \frac{{f({x_1}) - f({x_0})}}{{{x_1} - {x_0}}} = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to 1} \frac{{f({x_1}) - f(1)}}{{{x_1} - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to 1} \frac{{\frac{1}{2}g{x_1} - \frac{1}{2}g}}{{{x_1} - 1}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{{x_1} \to 1} \frac{{\frac{1}{2}g({x_1} - 1)}}{{{x_1} - 1}} = \frac{1}{2}g \approx \frac{1}{2}.9,8 \approx 4,9{\mkern 1mu}$ (m/s).

Quảng cáo

Luyện tập – Vận dụng 1

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = \frac{1}{x}$ tại ${x_0} = 2$ bằng định nghĩa.

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 1 để làm.

Lời giải chi tiết:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm x₀ = 2.

Ta có:

$\Delta y = f\left( {2 + \Delta x} \right) - f\left( 2 \right) = \frac{1}{{2 + \Delta x}} - \frac{1}{2}$

$= \frac{{2 - 2 - \Delta x}}{{2\left( {2 + \Delta x} \right)}} = \frac{{ - \Delta x}}{{4 + 2\Delta x}}$.

Suy ra $\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \frac{{\frac{{ - \Delta x}}{{4 + 2\Delta x}}}}{{\Delta x}} = \frac{{ - \Delta x}}{{\Delta x\left( {4 + 2\Delta x} \right)}} = \frac{{ - 1}}{{4 + 2\Delta x}}$.

Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{ - 1}}{{4 + 2\Delta x}} = \frac{{ - 1}}{{4 + 2.0}} = \frac{{ - 1}}{4}$.

Vậy $f'\left( 2 \right)=\frac{-1}{4}$.

Luyện tập – Vận dụng 2

Tính đạo hàm của hàm số $f\left( x \right) = {x^3}$ tại điểm x bất kì bằng định nghĩa

Phương pháp giải:

Dựa vào ví dụ 2 để làm

Lời giải chi tiết:

Xét $\Delta x$ là số gia của biến số tại điểm x.

Ta có:

$\Delta y = f\left( {x + \Delta x} \right) - f\left( x \right) = {\left( {x + \Delta x} \right)^3} - {x^3} = \left( {x + \Delta x - x} \right)\left[ {x{{\left( {x + \Delta x} \right)}^2} + x.\left( {x + \Delta x} \right) + {x^2}} \right]$

$= \Delta x\left( {{x^2} + 2x.\Delta x + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + {x^2} + x.\Delta x + {x^2}} \right) = \Delta x.\left( {3{x^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3x.\Delta x} \right)$

$\Rightarrow \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = 3{x^2} + {\left( {\Delta x} \right)^2} + 3x.\Delta x$.

Ta thấy:

$\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( {3{x^2} + {{\left( {\Delta x} \right)}^2} + 3x.\Delta x} \right) = 3{x^2}$

$\Rightarrow f'\left( x \right) = 3{x^2}$.