Giải mục 3 trang 76, 77 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

HĐ3

Trả lời câu hỏi Hoạt động 3 trang 76 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các vecto $\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1})$ và $\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2})$. Hãy biểu diễn các vecto $\overrightarrow u ,\overrightarrow v$ theo ba vecto đơn vị $\overrightarrow i ,\overrightarrow j ,\overrightarrow k$ và tính tích vô hướng $\overrightarrow u .\overrightarrow v$.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính tích vô hướng của 2 vecto:

$\overrightarrow a .\overrightarrow b  = |\overrightarrow a |.|\overrightarrow b |.\cos (\overrightarrow a ,\overrightarrow b )$.

Lời giải chi tiết:

$\overrightarrow u  = ({x_1};{y_1};{z_1}) = {x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k$

$\overrightarrow v  = ({x_2};{y_2};{z_2}) = {x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j  + {z_2}\overrightarrow k$

Ta có: ${\overrightarrow i ^2} = \overrightarrow i .\overrightarrow i  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow i |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow i ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1$

${\overrightarrow j ^2} = \overrightarrow j .\overrightarrow j  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1$

${\overrightarrow k ^2} = \overrightarrow k .\overrightarrow k  = |\overrightarrow k |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow k ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 0^\circ  = 1$

$\overrightarrow i .\overrightarrow j  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow j |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow j ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0$

$\overrightarrow j .\overrightarrow k  = |\overrightarrow j |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow j ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0$

$\overrightarrow i .\overrightarrow k  = |\overrightarrow i |.|\overrightarrow k |.\cos (\overrightarrow i ,\overrightarrow k ) = 1.1.\cos 90^\circ  = 0$

Vậy: $\overrightarrow u .\overrightarrow v  = ({x_1}\overrightarrow i  + {y_1}\overrightarrow j  + {z_1}\overrightarrow k ).({x_2}\overrightarrow i  + {y_2}\overrightarrow j  + {z_2}\overrightarrow k )$

$= {x_1}{x_2}{\overrightarrow i ^2} + {x_1}{y_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {x_1}{z_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {y_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow j  + {y_1}{y_2}{\overrightarrow j ^2} + {y_1}{z_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {z_1}{x_2}\overrightarrow i .\overrightarrow k  + {z_1}{y_2}\overrightarrow j .\overrightarrow k  + {z_1}{z_2}{\overrightarrow k ^2}$

$= {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} + {z_1}{z_2}$.

LT3

Trả lời câu hỏi Luyện tập 3 trang 77 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho tam giác ABC có A(2;-1;1), B(1;-1;2) và C(3;0;2). Chứng minh rằng tam giác ABC vuông tại A.

Phương pháp giải:

Chứng minh $\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC}  = 0$.

Lời giải chi tiết:

Ta có $\overrightarrow {AB}  = ( - 1;0;1)$, $\overrightarrow {AC}  = (1;1;1)$.

$\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right|.\left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} = \frac{{\left| { - 1.1 + 0.1 + 1.1} \right|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2} + {1^2}} }} = 0$.

Do đó $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = {90^o}$.

Vậy tam giác ABC vuông tại A.