Giải mục II trang 83, 84 SGK Toán 10 tập 2 - Cánh diều

Hoạt động 3

Trong mặt phẳng, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ cắt nhau tại A tạo thành bốn góc  đỉnh A (quy ước không kể góc bẹt và góc không).

Quan sát Hình 40a và đọc tên một góc nhọn trong bốn góc đó.

Quan sát Hình 40b và nêu đặc điểm bốn góc tại đỉnh A.

Lời giải chi tiết:

Trong hình 40a, ta có góc $\widehat {{A_1}}$ là một góc nhọn.

Trong hình 40b thì ta có  4 góc tại đỉnh A là một góc vuông.

Hoạt động 4

Cho hai đường thẳng ${\Delta _1},{\Delta _2}$ cắt nhau tại I và có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}} ,\overrightarrow {{u_2}}$. Gọi A và B là các điểm lần lượt thuộc hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ sao cho $\overrightarrow {{u_1}}  = \overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {{u_2}}  = \overrightarrow {IB}$.

a) Quan sát Hình 41a, Hình 41b, hãy nhận xét về độ lớn của góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ và độ lớn của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {IA}$, $\overrightarrow {IB}$.

b) Chứng tỏ $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,\overrightarrow {IB} } \right)} \right|$.

Lời giải chi tiết:

a) Độ lớn của góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ và độ lớn của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {IA}$, $\overrightarrow {IB}$ có thể bẳng nhau hoặc bù nhau.

b) Nếu $\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) \le {90^o}$ thì $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)$. Do đó,$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)$ và $\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) \ge 0$.

Nếu $\left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) > {90^o}$thì $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {180^o} - \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)$. Do đó,$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) =  - \cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)$ và $\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right) < 0$.

Vậy ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {IA} ,{\rm{ }}\overrightarrow {IB} } \right)} \right|$.

Hoạt động 5

Trong mặt phẳng toạ độ, cho hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow {{u_1}}  = {\rm{ }}\left( {{a_1};{\rm{ }}{b_1}} \right),{\rm{ }}\overrightarrow {{u_2}} {\rm{ }} = {\rm{ }}\left( {{a_2};{b_2}} \right)$. Tính $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right)$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {{a_1}{a_2} + {b_1}{b_2}} \right|}}{{\sqrt {a_1^2 + b_1^2} .\sqrt {a_2^2 + b_2^2} }}$.

Luyện tập – vận dụng 3

Tính số đo góc giữa hai đường thẳng ${\Delta _1}$ và ${\Delta _2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${\Delta _1}:\left\{ \begin{array}{l}x =  - 3 + 3\sqrt 3 t\\y = 2 + 3t\end{array} \right.$  và ${\Delta _2}:y - 4 = 0$

b)  ${\Delta _1}:2x - y = 0$ và ${\Delta _2}: - x + 3y - 5 = 0$

Lời giải chi tiết:

a) ${\Delta _1}$ có vecto chỉ phương là $\overrightarrow {{u_1}}  = \left( {3\sqrt 3 ;3} \right)$, từ đó ta suy ra vecto pháp tuyến là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)$.

Các vecto pháp tuyến của ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( { - 3;3\sqrt 3 } \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}}  = (0;1)$.

$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| { - 3.0 + 3\sqrt 3 .1} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {3\sqrt 3 } \right)}^2}} .\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$, suy ra $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {30^o}$.

b) Các vecto pháp tuyến của ${\Delta _1}$, ${\Delta _2}$ lần lượt là $\overrightarrow {{n_1}}  = \left( {2; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {{n_2}}  = ( - 1;3)$.

$\cos \left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = \frac{{\left| {2.( - 1) - 1.3} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {3^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$, suy ra $\left( {{\Delta _1},{\Delta _2}} \right) = {45^o}$.