Lý thuyết Dãy số - SGK Toán 11 Cánh Diều

I. Khái niệm

• Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u: $\left\{ {1;2;3;...;m} \right\} \to \mathbb{R}\left( {m \in {\mathbb{N}^*}} \right)$ được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương $k\left( {1 \le k \le m} \right)$ tương ứng với đúng một số ${u_k}$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: ${u_1},{u_2},{u_3},...,{u_m}$

Số ${u_1}$ là số hạng đầu; ${u_m}$ là số hạng cuối cùng của dãy số đó.

• Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u: ${\mathbb{N}^*} \to \mathbb{R}$ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương $n$ tương ứng với đúng một số ${u_n}$ nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: ${u_1},{u_2},{u_3},...,{u_n},...$

Số ${u_1}$ là số hạng đầu; ${u_n}$ là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

2. Cách cho một dãy số

Một dãy số có thể cho bằng:

• Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng).
• Công thức của số hạng tổng quát.
• Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạn tổng quát của dãy số đó.
• Phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số tăng nếu ta có ${u_{n + 1}} > {u_n}$$,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là dãy số giảm nếu ta có ${u_{n + 1}} < {u_n}$$,\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.

4. Dãy số bị chặn

• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn trên nếu $\exists$ số M sao cho ${u_n} \le M,$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn dưới nếu $\exists$ số m sao cho ${u_n} \ge m,$ $\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.
• Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho $m \le {u_n} \le M,$$\forall n \in {\mathbb{N}^*}$.