Lý thuyết Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - SGK Toán 10 Cánh diềuA. Lý thuyết 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa... A. Lý thuyết 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Nhận xét: Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có phương trình lần lượt là: a1x+b1y+c1=0 và a2x+b2y+c2=0. Xét hệ phương trình {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 (I). Khi đó: a) Δ1 cắt Δ2 khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất. b) Δ1 // Δ2 khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm. c) Δ1 trùng Δ2 khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm. 2. Góc giữa hai đường thẳng
Quy ước: Khi Δ1 song song hoặc trùng với Δ2, ta nói góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 bằng 0o. Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90o, tức là (Δ1,Δ2)≤90o.
Nhận xét: + Δ1⊥Δ2⇔a1a2+b1b2=0. + Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có vecto pháp tuyến lần lượt là →n1, →n2. Ta có: cos(Δ1,Δ2)=|cos(→n1,→n2)|=|→n1.→n2||→n1|.|→n2|. 3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng Trong trường hợp tổng quát, ta có:
Chú ý: Nếu M∈Δ thì d(M,Δ)=0.
B. Bài tập Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau: a) Δ1:2x−y+1=0 và Δ2:−x+2y+2=0. b) Δ3:x−y−1=0 và Δ4:{x=1+2ty=3+2t. Giải: a) Đường thẳng Δ1 có vecto chỉ phương →u1=(1;2), đường thẳng Δ2 có vecto chỉ phương →u2=(−2;−1). Do 1−2≠2−1 nên →u1 và →u2 không cùng phương, suy ra Δ1 cắt Δ2. b) Đường thẳng Δ3, Δ4 lần lượt có vecto chỉ phương là →u3=(1;1) và →u4=(2;2). Suy ra →u4=2→u3. Chọn t = 0, ta có điểm M(1;3)∈Δ4. Do 1−3−1≠0 nên M(1;3)∉Δ3. Vậy Δ3 // Δ4. Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng Δ1:x−2y+1=0 và Δ2:2x−4y+2=0. Giải: Tọa độ giao điểm của đường thẳng Δ1 và Δ2 là nghiệm của hệ phương trình: {x−2y+1=02x−4y+2=0. Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, Δ1 và Δ2 có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau. Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 trong mỗi trường hợp sau: a) Δ1:{x=−1+√3t1y=1+t1 và Δ2:{x=−1+√3t2y=4−t2. b) Δ1:3x+y−10=0 và Δ2:−2x+y−7=0. Giải: a) Δ1 có vecto chỉ phương →u1=(√3;1). Δ2 có vecto chỉ phương →u2=(√3;−1). Do đó, ta có: cos(Δ1,Δ2)=|√3.√3+1.(−1)|√(√3)2+12.√(√3)2+(−1)2=12. Vậy (Δ1,Δ2)=60o. b) Δ1 có vecto pháp tuyến →n1=(3;1). Δ2 có vecto pháp tuyến →n2=(−2;1). Do đó, ta có: cos(Δ1,Δ2)=|cos(→n1,→n2)|=|→n1.→n2||→n1|.|→n2|=|3.(−2)+1.1|√32+12.√(−2)2+12=√22. Vậy (Δ1,Δ2)=45o. Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau: a) M(-2;1) và Δ:2x−3y+5=0. b) M(1;-3) và Δ:{x=−2+3ty=2−4t. Giải: a) Ta có: d(M,Δ)=|2.(−2)−3.1+5|√22+(−3)2=2√13=2√1313. b) Đường thẳng Δ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến →n=(4;3). Phương trình đường thẳng Δ là 4(x+2)+3(y−2)=0. Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng Δ là 4x+3y+2=0. Vậy d(M,Δ)=|4.1+3.(−3)+2|√42+32=35. ![]() ![]()
|