Lý thuyết Vị trí tương đối và góc giữa hai đường thẳng. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng - SGK Toán 10 Cánh diều

A. Lý thuyết 1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 10 tất cả các môn - Cánh diều

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh - Sử - Địa...

A. Lý thuyết

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 lần lượt có vectơ chỉ phương là u1, u2. Khi đó:

a) Δ1 cắt Δ2 khi và chỉ khi u1, u2 không cùng phương.

b) Δ1 song song với Δ2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc một đường thẳng mà không thuộc đường thẳng còn lại.

c) Δ1 trùng với Δ2 khi và chỉ khi u1, u2 cùng phương và có một điểm thuộc cả hai đường thẳng đó.

Nhận xét: Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có phương trình lần lượt là:

a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0.

Xét hệ phương trình {a1x+b1y+c1=0a2x+b2y+c2=0 (I).

Khi đó:

a) Δ1 cắt Δ2 khi và chỉ khi hệ (I) có nghiệm duy nhất.

b) Δ1 // Δ2 khi và chỉ khi hệ (I) vô nghiệm.

c) Δ1 trùng Δ2 khi và chỉ khi hệ (I) có vô số nghiệm.

2. Góc giữa hai đường thẳng

Hai đường thẳng Δ1 và Δ2 cắt nhau tạo thành bốn góc:

- Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 không vuông góc với nhau thì góc nhọn trong bốn góc tạo thành được gọi là góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2.

- Nếu hai đường thẳng Δ1 và Δ2 vuông góc với nhau thì ta nói góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 bằng 90o.

Góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 được kí hiệu là (^A1,A2) hoặc (A1,A2).

Quy ước: Khi Δ1 song song hoặc trùng với Δ2, ta nói góc giữa hai đường thẳng Δ1 và Δ2 bằng 0o.

Nhận xét: Góc giữa hai đường thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 90o, tức là (Δ1,Δ2)90o.

Trong mặt phẳng tọa độ, cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có vecto chỉ phương lần lượt là u1=(a1;b1), u2=(a2;b2). Ta có:

cos(Δ1,Δ2)=|a1a2+b1b2|a12+b12.a22+b22.

Nhận xét:

+ Δ1Δ2a1a2+b1b2=0.

+ Cho hai đường thẳng Δ1 và Δ2 có vecto pháp tuyến lần lượt là n1, n2. Ta có:

cos(Δ1,Δ2)=|cos(n1,n2)|=|n1.n2||n1|.|n2|.

3. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Trong trường hợp tổng quát, ta có:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng Δ có phương trình ax+by+c=0 (a2+b2>0) và điểm M0(x0;y0). Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ, kí hiệu là d(M,Δ), được tính bởi công thức sau:

d(M,Δ)=|ax0+by0+c|a2+b2.

Chú ý: Nếu MΔ thì d(M,Δ)=0.

 

B. Bài tập

Bài 1: Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) Δ1:2xy+1=0Δ2:x+2y+2=0.

b) Δ3:xy1=0Δ4:{x=1+2ty=3+2t.

Giải:

a) Đường thẳng Δ1 có vecto chỉ phương u1=(1;2), đường thẳng Δ2 có vecto chỉ phương u2=(2;1).

Do 1221 nên u1u2 không cùng phương, suy ra Δ1 cắt Δ2.

b) Đường thẳng Δ3, Δ4 lần lượt có vecto chỉ phương là u3=(1;1)u4=(2;2). Suy ra u4=2u3. Chọn t = 0, ta có điểm M(1;3)Δ4. Do 1310 nên M(1;3)Δ3.

Vậy Δ3 // Δ4.

Bài 2: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng

Δ1:x2y+1=0Δ2:2x4y+2=0.

Giải:

Tọa độ giao điểm của đường thẳng Δ1Δ2 là nghiệm của hệ phương trình:

{x2y+1=02x4y+2=0.

Hệ trên có vô số nghiệm. Như vậy, Δ1Δ2 có vô số điểm chung, tức hai đường thẳng trên trùng nhau.

Bài 3: Tính số đo góc giữa hai đường thẳng Δ1Δ2 trong mỗi trường hợp sau:

a) Δ1:{x=1+3t1y=1+t1Δ2:{x=1+3t2y=4t2.

b) Δ1:3x+y10=0Δ2:2x+y7=0.

Giải:

a) Δ1 có vecto chỉ phương u1=(3;1). Δ2 có vecto chỉ phương u2=(3;1).

Do đó, ta có: cos(Δ1,Δ2)=|3.3+1.(1)|(3)2+12.(3)2+(1)2=12.

Vậy (Δ1,Δ2)=60o.

b) Δ1 có vecto pháp tuyến n1=(3;1). Δ2 có vecto pháp tuyến n2=(2;1).

Do đó, ta có: cos(Δ1,Δ2)=|cos(n1,n2)|=|n1.n2||n1|.|n2|=|3.(2)+1.1|32+12.(2)2+12=22.

Vậy (Δ1,Δ2)=45o.

Bài 4: Tính khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng Δ trong mỗi trường hợp sau:

a) M(-2;1) và Δ:2x3y+5=0.

b) M(1;-3) và Δ:{x=2+3ty=24t.

Giải:

a) Ta có: d(M,Δ)=|2.(2)3.1+5|22+(3)2=213=21313.

b) Đường thẳng Δ đi qua điểm N(-2;2) và có vecto pháp tuyến n=(4;3).

Phương trình đường thẳng Δ4(x+2)+3(y2)=0. Từ đó, ta nhận được phương trình tổng quát của đường thẳng Δ4x+3y+2=0.

Vậy d(M,Δ)=|4.1+3.(3)+2|42+32=35.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

close