Tổng của hai vecto - Toán 10

Với ba điểm bất kì A, B, C, vecto \(\overrightarrow {AC} \) được gọi là tổng của hai vecto \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {BC} \), kí hiệu là \(\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} \).

Cho hai vecto $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$. Lấy một điểm A tuỳ ý, vẽ $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{b}$. Vecto $\overrightarrow{AC}$ được gọi là tổng của hai vecto $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$, kí hiệu $\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$.

Phép lấy tổng của hai vecto còn được gọi là phép cộng vecto.

a) Quy tắc ba điểm

Với ba điểm bất kì A, B, C, ta có \(\overrightarrow {AC}= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} \).

b) Quy tắc hình bình hành

Nếu ABCD là hình bình hành thì \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD}= \overrightarrow {AC} \).

- Giao hoán: \(\overrightarrow a+ \overrightarrow b= \overrightarrow b+ \overrightarrow a \).

- Kết hợp: \(\left( {\overrightarrow a+ \overrightarrow b } \right) + \overrightarrow c= \overrightarrow a+ \left( {\overrightarrow b+ \overrightarrow c } \right)\).

- Cộng với vecto-không: \(\overrightarrow a+ \overrightarrow 0= \overrightarrow 0+ \overrightarrow a= \overrightarrow a \).

1) Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {MC}= \overrightarrow {AM} \).

Giải:

Vì \(\overrightarrow {MC}= \overrightarrow {BM} \) nên \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {MC}= \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BM}= \overrightarrow {AM} \).

2) Cho hình chữ nhật ABCD. Chứng minh \(\left| {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC} } \right|\).

Giải:

Theo quy tắc hình bình hành, ta có:

\(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD}= \overrightarrow {AC} \), \(\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC}= \overrightarrow {BD} \).

Suy ra \(\left| {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\), \(\left| {\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC} } \right| = \left| {\overrightarrow {BD} } \right| = BD\).

Do AC = BD nên \(\left| {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {AD} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {BC} } \right|\).

3) Cho bốn điểm A, B, C, D. Chứng minh \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {CD}+ \overrightarrow {BC}= \overrightarrow {AD} \).

Giải:

Ta có \(\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {CD}+ \overrightarrow {BC} \)

\( = \overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC}+ \overrightarrow {CD} \) (tính chất giao hoán)

\( = \left( {\overrightarrow {AB}+ \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {CD} \) (tính chất kết hợp)

\( = \overrightarrow {AC}+ \overrightarrow {CD} \) (quy tắc ba điểm)

\( = \overrightarrow {AD} \) (quy tắc ba điểm).