Bài 4.42 trang 103 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, AA’.

a) Xác định giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B‘C.

b) Gọi K là giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C. Tính tỉ số \(\frac{{KB'}}{{KC}}\).

Lời giải chi tiết

a) Trong (AA’B’B), gọi \(D = PM \cap BB'\).

Mặt khác \(\left\{ \begin{array}{l}D \in BB' \subset (BB'C'C)\\N \in BC \subset (BB'C'C)\end{array} \right. \Rightarrow DN \subset (BB'C'C)\).

Trong (BB’C’C), gọi \(K = DN \cap B'C\).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}D \in PM \subset (MNP)\\N \in (MNP)\end{array} \right. \Rightarrow DN \subset (MNP)\)

\(\left. \begin{array}{l} \Rightarrow K \in DN \subset (MNP)\\K \in B'C\end{array} \right\} \Rightarrow K \in B'C \cap (MNP)\).

Vậy giao điểm của mặt phẳng (MNP) với đường thẳng B’C là K.

b) MP là đường trung bình tam giác ABA’ nên MP // A’B hay PD // A’B (1)

ABC.A’B’C’ là hình lăng trụ nên AA’ // BB’ hay A’P // BD (2)

Từ (1) và (2) suy ra A’PDB là hình bình hành.

Suy ra \(BD = A'P = \frac{{AA'}}{2} = \frac{{BB'}}{2} \Rightarrow \frac{{BD}}{{B'D}} = \frac{1}{3}\).

Mà EN là đường trung bình tam giác KB’D nên ta có:

\(EN = \frac{{BB'}}{2} = BD \Rightarrow \frac{{EN}}{{B'D}} = \frac{{BD}}{{B'D}} = \frac{1}{3}\).

Theo định lí Thales, vì EN // B’D nên \(\frac{{KE}}{{KB'}} = \frac{{EN}}{{B'D}} = \frac{1}{3}\).

\( \Rightarrow \frac{{KE}}{{KB' - KE}} = \frac{1}{{3 - 1}} \Leftrightarrow \frac{{KE}}{{B'E}} = \frac{{KE}}{{EC}} = \frac{1}{2}\).

Suy ra K là trung điểm của EC. Khi đó \(\frac{{KC}}{{KB'}} = \frac{{KE}}{{KB'}} = \frac{1}{3} \Rightarrow \frac{{KB'}}{{KC}} = 3\).