Bài 5.2 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hai dãy số không âm \(\left( {{u_n}} \right)\) và \(\left( {{v_n}} \right)\) với \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } {u_n} = 2\) và \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } {v_n} = 3\). Tìm các giới hạn sau:

a) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}}\);

b) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } \sqrt {{u_n} + 2{v_n}} \).

Lời giải chi tiết

a) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\frac{{u_n^2}}{{{v_n} - {u_n}}} = \mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\frac{{{{\left( {{u_n}} \right)}^2}}}{{{v_n} - {u_n}}} \)

\(= \frac{{{2^2}}}{{3 - 2}} = 4\).

b) \(\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\left( {{u_n} + 2{v_n}} \right) =\mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty } ({u_n} + 2{v_n}) = 2 + 2 . 3 = 8 \)

\(\Rightarrow \mathop {\lim}\limits_{n \to  + \infty }\sqrt {{u_n} + 2{v_n}}  = \sqrt 8 \).