Bài 7.40 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại $B,BC =$ a và $\widehat {CAB} = {30^0}$. Biết $SA \bot (ABC)$ và $SA = a\sqrt 2$.

a) Chứng minh rằng $(SBC) \bot (SAB)$.

b) Tính theo a khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng SC và khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(SBC)$.

Lời giải chi tiết

 

a) $SA \bot BC\left( {SA \bot \left( {ABC} \right)} \right),AB \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right),BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SBC} \right) \bot \left( {SAB} \right)$

b) +) Trong (SAC) kẻ $AD \bot SC \Rightarrow d\left( {A,SC} \right) = AD$

Xét tam giác ABC vuông tại B có

$\sin \widehat {CAB} = \frac{{BC}}{{AC}} \Rightarrow AC = \frac{a}{{\sin {{30}^0}}} = 2a$

Xét tam giác SAC vuông tại A có

$\frac{1}{{A{D^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{C^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {2a} \right)}^2}}} = \frac{3}{{4{a^2}}} \Rightarrow AD = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

Do đó $d\left( {A,SC} \right) = \frac{{2a\sqrt 3 }}{3}$

+) $\left( {SAB} \right) \bot \left( {SBC} \right),\left( {SAB} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SB$

Trong (SAB) kẻ $AE \bot SB$

$\Rightarrow AE \bot \left( {SBC} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = AE$

Xét tam giác ABC vuông tại B có

$\tan \widehat {CAB} = \frac{{BC}}{{AB}} \Rightarrow AB = \frac{a}{{\tan {{30}^0}}} = a\sqrt 3$

Xét tam giác SAB vuông tại A có

$\frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 2 } \right)}^2}}} + \frac{1}{{{{\left( {a\sqrt 3 } \right)}^2}}} = \frac{5}{{6{a^2}}} \Rightarrow AE = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}$

Vậy $d\left( {A,\left( {SBC} \right)} \right) = \frac{{a\sqrt {30} }}{5}$