Bài 7.41 trang 65 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Biết tam giác SAD vuông cân tại $S$ và $(SAD) \bot (ABCD)$.

a) Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABCD.

b) Tính theo a khoảng cách giữa hai đường thẳng AD và SC.

Lời giải chi tiết

 

a) Trong (SAD) kẻ $SE \bot AD$

Mà $\left( {SAD} \right) \bot \left( {ABCD} \right),\left( {SAD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AD \Rightarrow SE \bot \left( {ABCD} \right)$

Xét tam giác SAD vuông cân tại S có

$SE \bot AD$

$\Rightarrow$ E là trung điểm của AD

$\Rightarrow SE = \frac{{AD}}{2} = \frac{a}{2}$

Diện tích hình vuông ABCD là ${S_{ABCD}} = {a^2}$

Thể tích khối chóp là $V = \frac{1}{3}SE.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.\frac{a}{2}.{a^2} = \frac{{{a^3}}}{6}$

b) Trong (ABCD) kẻ EF // AB mà $AB \bot BC \Rightarrow EF \bot BC$

mà $SE \bot BC \Rightarrow BC \bot \left( {SEF} \right);BC \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow \left( {SEF} \right) \bot \left( {SBC} \right)$

$\left( {SEF} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SF$

Trong (SEF) kẻ $EG \bot SF$

$\Rightarrow EG \bot \left( {SBC} \right)$

Ta có AD // BC nên AD // (SBC)

$\Rightarrow d\left( {AD,SC} \right) = d\left( {AD,\left( {SBC} \right)} \right) = d\left( {E,\left( {SBC} \right)} \right) = EG$

Vì ABCD là hình vuông và EF // AB nên EF = AB = a

Xét tam giác SEF vuông tại E có

$\frac{1}{{E{G^2}}} = \frac{1}{{S{E^2}}} + \frac{1}{{E{F^2}}} = \frac{1}{{{{\left( {\frac{a}{2}} \right)}^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{5}{{{a^2}}} \Rightarrow EG = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$

Vậy $d\left( {AD,SC} \right) = \frac{{a\sqrt 5 }}{5}$