Bài 9.26 trang 98 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Xét hàm số luỹ thừa $y = {x^\alpha }$ với $\alpha$ là số thực.

a) Tìm tập xác định của hàm số đã cho.

b) Bằng cách viết $y = {x^\alpha } = {e^{\alpha \ln x}}$, tính đạo hàm của hàm số đã cho.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số luỹ thừa $y = {x^\alpha }$ với $\alpha$ là số thực có tập xác định khác nhau, tùy theo $\alpha$:

- Nếu $\alpha$ nguyên dương thì tập xác định là $\mathbb{R}$

- Nếu $\alpha$ nguyên âm hoặc $\alpha  = 0$ thì tập xác định là $\mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\}$

- Nếu $\alpha$ không nguyên thì tập xác định là $\left( {0; + \infty } \right)$

b) $y' = {\left( {{x^\alpha }} \right)^,} = {\left( {{e^{\alpha \ln x}}} \right)^,} = {\left( {\alpha \ln x} \right)^,}{e^{\alpha \ln x}} = \frac{\alpha }{x}{e^{\alpha \ln x}} = \frac{\alpha }{x}.{x^\alpha } = \alpha {x^{\alpha  - 1}}$