Đề thi, đề kiểm tra Toán lớp 11 - Kết nối tri thức

Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 2

Tổng hợp đề thi học kì 2 lớp 11 tất cả các môn - Kết nối tri thức

Toán - Văn - Anh - Lí - Hóa - Sinh

Tải về

Làm đề thi

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Đề bài

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Cho hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} - 4x + 6.$ Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm là

A
$x = - 1$
B
$x = 1,\,\,x = 4$
C
$x = - 1,\,\,x = 4$
D
$x = 0,\,\,x = 3$

Câu 2 :

Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = - {x^3} + x$ tại điểm $M( - 2;6).$ Phương trình của (d) là

A
y = -11x +30.
B
y = 13x + 34.
C
y = -11x – 16.
D
y = 13x – 18.

Câu 3 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}}$ bằng

A
$- \frac{1}{{24}}$
B
$- \frac{1}{6}$
C
$\frac{1}{6}$
D
$\frac{1}{{24}}$

Quảng cáo

Câu 4 :

Cho $u = u\left( x \right),v = v\left( x \right),v\left( x \right) \ne 0$ ; với k là hằng số. Hãy chọn khẳng định sai?

A
${\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = - \frac{{v'}}{{{v^{}}}}$
B
$\left( {u + v} \right)' = u' + v'$
C
${\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'$
D
$\left( {u.v} \right)' = u'.v + u.v'$

Câu 5 :

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{1 - x}}$ là

A
$y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}}$
B
$y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
C
$y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$
D
$y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$

Câu 6 :

Cho hàm số: $f(x) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}}\quad khi\;x \ne 1\\m\quad \quad \quad khi\;x = 1\end{array} \right.$ . Để f(x) liên tục tại điểm ${x_0} = 1$ thì m bằng:

A
-1
B
1
C
2
D
0

Câu 7 :

Tìm đạo hàm của hàm số sau $y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1$

A
$y' = 4{x^3} - 3x + 2$
B
$y' = 4{x^4} - 6x + 2$
C
$y' = 4{x^3} - 6x + 3$
D
$y' = 4{x^3} - 6x + 2$

Câu 8 :

Cho hàm số $f(x) = \frac{{a{x^2} + 4x + 3}}{{3x - 2a{x^2}}},(a \in R,a \ne 0)$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$ bằng

A
$- \frac{1}{2}$
B
$+ \infty$
C
$\frac{a}{3}$
D
$- \infty$

Câu 9 :

Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và SA vuông góc mặt đáy $\left( {ABC} \right)$ , $SB = 2a$ , $AB = a$ ( tham khảo hình vẽ). Tính góc giữa SB và $mp\left( {ABC} \right)$

A
$90^\circ .$
B
$60^\circ .$
C
$45^\circ .$
D
$30^\circ .$

Câu 10 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$AC \bot (SBD)$
B
$(SCD) \bot (SAD)$
C
$(SBD) \bot (SAC)$
D
$(SBC) \bot (SAC)$

Câu 11 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A

$AC \bot (SBD)$
B

$AB \bot (SAD)$
C

$AC \bot (SBD)$
D

$SO \bot (ABCD)$

Câu 12 :

Với hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right){{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}{{x - 1}}$ ; g'(2) bằng

A
232.
B
72.
C
152.
D
-75.

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi

a) Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ là $\frac{{14}}{{285}}$

Đúng

Sai

b) Xác suất để 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu là $\frac{{43}}{{57}}$

Đúng

Sai

c) Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều có màu vàng là $\frac{1}{7}$

Đúng

Sai

d) Xác suất để 3 viên bi lấy ra có đủ cả ba màu là $\frac{{14}}{{57}}$

Đúng

Sai

Câu 2 :

Cho hàm số có đồ thị (C): $y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có tung độ bằng 4 là : $y = 9x - 2$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành là $y = x + 2$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục tung là: $y = x + 2$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $(d):y = - x + 1$ là $y = - \frac{2}{5}x + 1$

Đúng

Sai

Quảng cáo

Câu 3 :

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.

a) $d((MNP),(ABC)) = h$

Đúng

Sai

b) $d(NP,(ABC)) = \frac{h}{2}$

Đúng

Sai

c) $d(A,(SBC)) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

Đúng

Sai

d) $(MNP)//(ABC)$

Đúng

Sai

Câu 4 :

Cho hàm số $y = \sin x$

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = - cosx$

Đúng

Sai

b) Biểu thức $y'(\frac{\pi }{2}) = 0$

Đúng

Sai

c) Biểu thức $y''(\frac{\pi }{2}) = 0$

Đúng

Sai

d) Biểu thức ${y^{(2024)}} = \sin (x + 1012\pi )$

Đúng

Sai

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Câu 1 :

Tính giới hạn: $\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{x - 2}}$ .

Câu 2 :

Cho hàm số: $y = {\left( {{x^4} - 1} \right)^4}$ . Tính $y'(1)$

Câu 3 :

Tìm m để hàm số $f\left( x \right) = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}}\,\,\,\;khi\,\,x \ne 1\\1 - mx\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x = 1\end{array} \right.$ liên tục tại điểm ${x_0} = 1$

Quảng cáo

Câu 4 :

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA $\bot$ (ABCD) và

SA = a $\sqrt 2$ . Tính tan của góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD).

Câu 5 :

Cho hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{x + 1}}$ . Tìm tọa độ điểm M thuộc đồ thị sao cho khoảng cách từ điểm $I( - 1;2)$ tới tiếp tuyến của đồ thị tại M là lớn nhất.

Câu 6 :

Với mức tiêu thụ thức ăn cho cá hàng ngày của hộ gia đình A không đổi như dự định thì lượng thức ăn dự trữ sẽ hết sau 50 ngày. Nhưng trên thực tế, mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm 3% từ ngày đầu tiên và cứ tiếp tục như vậy, ngày sau tăng thêm 3% so với ngày kề trước đó. Hỏi thực tế, lượng thức ăn dự trữ đó sẽ hết sau bao nhiêu ngày? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Lời giải và đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.

Câu 1 :

Cho hàm số $f(x) = \frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} - 4x + 6.$ Phương trình $f'(x) = 0$ có nghiệm là

A
$x = - 1$
B
$x = 1,\,\,x = 4$
C
$x = - 1,\,\,x = 4$
D
$x = 0,\,\,x = 3$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức đạo hàm.

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}f'(x) = (\frac{{{x^3}}}{3} - \frac{3}{2}{x^2} - 4x + 6)' = {x^2} - 3x - 4\\f'(x) = 0\,\,hay\,\,{x^2} - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = - 1\\x = 4\end{array} \right.\end{array}$

Đáp án C.

Câu 2 :

Gọi (d) là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = f(x) = - {x^3} + x$ tại điểm $M( - 2;6).$ Phương trình của (d) là

A
y = -11x +30.
B
y = 13x + 34.
C
y = -11x – 16.
D
y = 13x – 18.

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C): $y = f(x)$ tại điểm $M({x_0};f({x_0}))$ là:

$y = f'({x_0})(x - {x_0}) + f({x_0})$

Trong đó:

$M({x_0};f({x_0}))$ gọi là tiếp điểm.

$k = f'({x_0})$ là hệ số góc.

Lời giải chi tiết :

$y' = f'(x) = ( - {x^3} + x)' = - 3{x^2} + 1$

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $y = f(x) = - {x^3} + x$ tại điểm $M( - 2;6).$

$y = f'( - 2)(x + 2) + 6\,\,hay\,\,y = - 11(x + 2) + 6 = - 11x - 16$

Đáp án C.

Câu 3 :

Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}}$ bằng

A
$- \frac{1}{{24}}$
B
$- \frac{1}{6}$
C
$\frac{1}{6}$
D
$\frac{1}{{24}}$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nhận biết dạng vô định $\frac{0}{0}$ : Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \frac{{f(x)}}{{g(x)}}$ trong đó $f(x{}_0) = g({x_0}) = 0$

Khử dạng vô định $\frac{0}{0}$ : Phân tích tử thức và mẫu thức sao cho xuất hiện nhân tử chung $(x - {x_0})$

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\sqrt {x + 1} - 2}}{{9 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{x - 3}}{{(\sqrt {x + 1} + 2)(9 - {x^2})}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{ - 1}}{{(\sqrt {x + 1} + 2)(3 + x)}} = \frac{{ - 1}}{{24}}$

Đáp án A.

Câu 4 :

Cho $u = u\left( x \right),v = v\left( x \right),v\left( x \right) \ne 0$ ; với k là hằng số. Hãy chọn khẳng định sai?

A
${\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = - \frac{{v'}}{{{v^{}}}}$
B
$\left( {u + v} \right)' = u' + v'$
C
${\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'$
D
$\left( {u.v} \right)' = u'.v + u.v'$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Áp dụng công thức tính đạo hàm

Lời giải chi tiết :

${\left( {\frac{1}{v}} \right)^\prime } = - \frac{{v'}}{{{v^2}}}$

$\left( {u + v} \right)' = u' + v'$

${\left( {k.u} \right)^\prime } = k.u'$

$\left( {u.v} \right)' = u'.v + u.v'$

Đáp án A.

Câu 5 :

Đạo hàm của hàm số $y = \frac{{2x - 1}}{{1 - x}}$ là

A
$y' = \frac{3}{{{{\left( { - x + 1} \right)}^2}}}$
B
$y' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$
C
$y' = \frac{{ - 1}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$
D
$y' = \frac{{ - 3}}{{{{\left( {1 - x} \right)}^2}}}$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm phân thức: $y' = \left( {\frac{{ax + b}}{{cx + d}}} \right)' = \frac{{ad - bc}}{{{{\left( {cx + d} \right)}^2}}}$

Lời giải chi tiết :

$y' = \left( {\frac{{2x - 1}}{{1 - x}}} \right)' = \left( {\frac{{2x - 1}}{{ - x + 1}}} \right)' = \frac{{2.1 - ( - 1).( - 1)}}{{{{( - x + 1)}^2}}} = \frac{1}{{{{( - x + 1)}^2}}}$

Đáp án B.

Câu 6 :

A
-1
B
1
C
2
D
0

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính f(x₀) = f₂(x₀).

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {f_1}(x) = L$

Bước 3: Nếu f₂(x₀) = L thì hàm số f(x) liên tục tại x_0.

Nếu f₂(x₀) ≠ L thì hàm số f(x) không liên tục tại x_0.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x₀, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f₂(x₀), tìm m)

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có:

$\begin{array}{l}f(1) = m\\\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 1}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x + 1)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x + 1) = 2\end{array}$

Ta thấy $\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = f(1)$

Nên m = 2

Vậy khi m = 2 thì hàm số liên tục tại ${x_0} = 1$

Đáp án C.

Câu 7 :

Tìm đạo hàm của hàm số sau $y = {x^4} - 3{x^2} + 2x - 1$

A
$y' = 4{x^3} - 3x + 2$
B
$y' = 4{x^4} - 6x + 2$
C
$y' = 4{x^3} - 6x + 3$
D
$y' = 4{x^3} - 6x + 2$

Đáp án : D

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

Lời giải chi tiết :

$y' = \left( {{x^4} - 3{x^2} + 2x - 1} \right)' = 4{x^3} - 6x + 2$

Đáp án D.

Câu 8 :

Cho hàm số $f(x) = \frac{{a{x^2} + 4x + 3}}{{3x - 2a{x^2}}},(a \in R,a \ne 0)$ . Khi đó $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x)$ bằng

A
$- \frac{1}{2}$
B
$+ \infty$
C
$\frac{a}{3}$
D
$- \infty$

Đáp án : A

Phương pháp giải :

Nhận dạng: $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } \frac{{f(x)}}{{g(x)}} =$ $\frac{\infty }{\infty }$ với $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } f(x) = \pm \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm \infty } g(x) = \pm \infty$

TH₁: Nếu f(x) , g(x) là các đa thức thì chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x.

TH₂: Nếu f(x) , g(x) chứa căn thì có thể chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của x hoặc nhân lượng liên hợp

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a{x^2} + 4x + 3}}{{3x - 2a{x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{{x^2}(a + \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}})}}{{{x^2}(\frac{3}{x} - 2a)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \frac{{a + \frac{4}{x} + \frac{3}{{{x^2}}}}}{{\frac{3}{x} - 2a}} = \frac{a}{{ - 2a}} = - \frac{1}{2}$

Đáp án A.

Câu 9 :

A
$90^\circ .$
B
$60^\circ .$
C
$45^\circ .$
D
$30^\circ .$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và $\left( \alpha \right)$

Bước 2: Xác định hình chiếu A’ của một điểm $A \in \left( \alpha \right)$ xuống $\left( \alpha \right)$

Bước 3: Suy ra: $(a;\left( \alpha \right)) = (a;a') = \widehat {AOA'}$

Lời giải chi tiết :

Do $SA \bot (ABC)$ nên A là hình chiếu của S lên (ABC)

Ta có: $(SB,(ABC)) = (SB,AB) = \widehat {SBA}$

Xét $\Delta SAB:c{\rm{os}}\widehat {SBA} = \frac{{AB}}{{SB}} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$

Suy ra: $\widehat {SBA} = {60^0}$

Đáp án B.

Câu 10 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh bên SA vuông góc với đáy. Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$AC \bot (SBD)$
B
$(SCD) \bot (SAD)$
C
$(SBD) \bot (SAC)$
D
$(SBC) \bot (SAC)$

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và hai mặt phẳng vuông góc với nhau

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}CD \bot AD\\CD \bot SA\,(do\,\,SA \bot (ABC{\rm{D}}))\\AD,SA \subset (SAD)\\AD \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow CD \bot (SAD)$

Mặt khác:

$CD \subset (SCD) \Rightarrow (SCD) \bot (SAD)$

Đáp án B.

Câu 11 :

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD. Khẳng định nào sau đây đúng ?

A

$AC \bot (SBD)$
B

$AB \bot (SAD)$
C

$AC \bot (SBD)$
D

$SO \bot (ABCD)$

Đáp án : C

Phương pháp giải :

Sử dụng định lý đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

Ta có:

$\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\AC \bot SO\\BD,SO \subset (SBD)\\BD \cap SO\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SBD)$

Đáp án C.

Câu 12 :

Với hàm số $g\left( x \right) = \frac{{\left( {2x + 1} \right){{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}{{x - 1}}$ ; g'(2) bằng

A
232.
B
72.
C
152.
D
-75.

Đáp án : B

Phương pháp giải :

Sử dụng phương tính đạo hàm của hàm hợp.

Lời giải chi tiết :

$g'\left( x \right) = \frac{{\left[ {\left( {2x + 1} \right){{\left( {2 - 3x} \right)}^2}} \right]'(x - 1) - \left( {2x + 1} \right){{\left( {2 - 3x} \right)}^2}.(x - 1)'}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{{\left[ {2{{\left( {2 - 3x} \right)}^2} + (2x + 1).2\left( {2 - 3x} \right).( - 3)} \right] + \left( {2x + 1} \right){{\left( {2 - 3x} \right)}^2}}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$= \frac{{3x(3x - 2)(4x - 5)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

$\Rightarrow g'\left( 2 \right) = \frac{{3x(3x - 2)(4x - 5)}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 72$ .

Phần II. Câu trắc nghiệm đúng sai

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Câu 1 :

Trong một chiếc hộp có 20 viên bi, trong đó có 8 viên bi màu đỏ, 7 viên bi màu xanh và 5 viên bi màu vàng. Lấy ngẫu nhiên ra 3 viên bi

a) Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ là $\frac{{14}}{{285}}$

Đúng

Sai

b) Xác suất để 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu là $\frac{{43}}{{57}}$

Đúng

Sai

c) Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều có màu vàng là $\frac{1}{7}$

Đúng

Sai

d) Xác suất để 3 viên bi lấy ra có đủ cả ba màu là $\frac{{14}}{{57}}$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều màu đỏ là $\frac{{14}}{{285}}$

Đúng

Sai

b) Xác suất để 3 viên bi lấy ra có không quá hai màu là $\frac{{43}}{{57}}$

Đúng

Sai

c) Xác suất để 3 viên bi lấy ra đều có màu vàng là $\frac{1}{7}$

Đúng

Sai

d) Xác suất để 3 viên bi lấy ra có đủ cả ba màu là $\frac{{14}}{{57}}$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng các quy tắc đếm để xác định số phần tử của không gian mẫu và biến cố

Lời giải chi tiết :

Không gian mẫu: $(\Omega ) = C_{20}^3 = 1140$

a) Gọi A là biến cố: “3 viên bi lấy ra đều màu đỏ”; $P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_8^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{56}}{{1140}} = \frac{{14}}{{285}}$

b) B là biến cố: “3 viên bi lấy ra có không quá hai màu”

TH₁: Số cách lấy ra 3 viên bi lấy ra chỉ có một màu: $C_8^3 + C_7^3 + C_5^3 = 101$

TH₂: Số cách lấy ra 3 viên bi lấy ra chỉ có đúng hai màu: $\left[ {C_{15}^3 - \left( {C_8^3 + C_7^3} \right)} \right] + \left[ {C_{13}^3 - \left( {C_8^3 + C_5^3} \right)} \right] + \left[ {C_{12}^3 - \left( {C_5^3 + C_7^3} \right)} \right] = 759$

Nên: $P(B) = \frac{{n(B)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{101 + 759}}{{1140}} = \frac{{43}}{{57}}$

c) C là biến cố: “3 viên bi lấy ra đều có màu vàng”; $P(C) = \frac{{n(C)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_5^3}}{{C_{20}^3}} = \frac{{10}}{{1140}} = \frac{1}{{114}}$

d) D là biến cố: “3 viên bi lấy ra có đủ cả ba màu”: $P(D) = \frac{{n(D)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{C_8^1.C_7^1.C_5^1}}{{C_{20}^3}} = \frac{{280}}{{1140}} = \frac{{14}}{{57}}$

Câu 2 :

Cho hàm số có đồ thị (C): $y = f(x) = \frac{{x - 2}}{{x - 1}}$

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có tung độ bằng 4 là : $y = 9x - 2$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành là $y = x + 2$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục tung là: $y = x + 2$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $(d):y = - x + 1$ là $y = - \frac{2}{5}x + 1$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M có tung độ bằng 4 là : $y = 9x - 2$

Đúng

Sai

b) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục hoành là $y = x + 2$

Đúng

Sai

c) Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M là giao của đồ thị hàm số với trục tung là: $y = x + 2$

Đúng

Sai

d) Phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng $(d):y = - x + 1$ là $y = - \frac{2}{5}x + 1$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Bước 1: Gọi M(x₀; f(x₀)) là tọa độ tiếp điểm của tiếp tuyến của (C) thì f'(x₀) = k

Bước 2: Giải phương trình f'(x₀) = k với ẩn là x₀.

Bước 3: Phương trình tiếp tuyến của (C) có dạng y = k(x – x₀) + f(x₀)

Lời giải chi tiết :

$y' = f'(x) = \left( {\frac{{x - 2}}{{x - 1}}} \right)' = \frac{1}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

a) Gọi $M({x_0};{y_0})$ là tiếp điểm. M có tung độ bằng 4 nên $M(\frac{2}{3};4)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyển tại M nên $k = f'\left( {\frac{2}{3}} \right) = 9$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $M(\frac{2}{3};4)$ là $y = 9(x - \frac{2}{3}) + 4\,\,hay\,\,y = 9x - 2$

b) Gọi $M({x_0};{y_0})$ là tiếp điểm. M là giao của đồ thị với trục hoành nên $M(2;0)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M nên $k = f'\left( 2 \right) = 1$

Phương trình tiếp tuyến của (C) (C) tại điểm $M(2;0)$ là $\,y = x - 2$

c) Gọi $M({x_0};{y_0})$ là tiếp điểm.

M là giao điểm của đồ thị với trục tung nên $M(0;2)$

Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến tại M. Khi đó $k = f'\left( 0 \right) = 1$

Phương trình tiếp tuyến tại M là: $\,y = (x - 0) + 2\,\,hay\,\,y = x + 2$

d) Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị (C)

Do tiếp tuyến vuông góc với $(d):y = - x + 1$ nên $- 1.k = - 1 \Leftrightarrow k = 1$

Gọi $M({x_0},{y_0}) \in (C)$ mà tiếp tuyến của (C) tại M có hệ số góc k = 1

$f'({x_0}) = 1 \Rightarrow \frac{1}{{{{(x - 1)}^2}}} = 1 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_0} = 2\\{x_0} = 0\end{array} \right.$

* Với ${x_0} = 2$ ta có ${y_0} = f(2) = 0 \Rightarrow {M_1}(2;0) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ${M_1}(2;0)$ ) là $y = x - 2$

* Với ${x_0} = 0$ ta có ${y_0} = f(0) = 2 \Rightarrow {M_2}(0;2) \in (C)$

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại ${M_2}(0;2)$ là $\,y = x + 2$

Câu 3 :

Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC), SA = h. Gọi M, N, P tương ứng là trung điểm của SA, SB, SC.

a) $d((MNP),(ABC)) = h$

Đúng

Sai

b) $d(NP,(ABC)) = \frac{h}{2}$

Đúng

Sai

c) $d(A,(SBC)) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

Đúng

Sai

d) $(MNP)//(ABC)$

Đúng

Sai

Đáp án

a) $d((MNP),(ABC)) = h$

Đúng

Sai

b) $d(NP,(ABC)) = \frac{h}{2}$

Đúng

Sai

c) $d(A,(SBC)) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

Đúng

Sai

d) $(MNP)//(ABC)$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng và khoảng cách từ đường thẳng đến mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

a) Xét tam giác SAB có M là trung điểm của SA, N là trung điểm của SB nên MN là đường trung bình của tam giác SAB. Suy ra $MN//AB$ ,do đó $MN//(ABC)$

Xét tam giác SBC có N là trung điểm của SB, P là trung điểm của SC nên PN là đường trung bình của tam giác SBC. Suy ra $PN//BC$ ,do đó $PN//(ABC)$

Khi đó, $d((MNP),(ABC)) = d(M,(ABC))$

Vì $SA \bot (ABC)$ nên $MA \bot (ABC)$ . Do đó $d(M,(ABC)) = MA$

Vì M là trung điểm SA nên $AM = \frac{{SA}}{2} = \frac{h}{2}$

Do đó $d((MNP),(ABC)) = \frac{h}{2}$

b) Vì $PN//(ABC)$ nên $d(NP,(ABC)) = d(N,(ABC))$

Vì $MN//(ABC)$ nên $d(N,(ABC)) = d(M,(ABC)) = MA = \frac{h}{2}$

Vậy $d(N,(ABC)) = \frac{h}{2}$

c) Vì tam giác ABC là tam giác vuông tại B nên $BC \bot AB$

Vì $SA \bot (ABC)$ nên $SA \bot BC$ mà $BC \bot AB$ nên $BC \bot (SAB)$ , suy ra $(SBC) \bot (SAB)$

Kẻ $AH \bot SB$ tại H

Vì $\left\{ \begin{array}{l}(SBC) \bot (SAB)\\(SBC) \cap (SAB) = SB\\AH \subset (SAB)\\AH \bot SB\end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SBC)$

Khi đó $d(A,(SBC)) = AH$

Vì $SA \bot (SBC)$ nên $SA \bot AB$

Xét tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao, có:

$\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{B^2}}} = \frac{1}{{{h^2}}} + \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{{{a^2} + {h^2}}}{{{a^2}{h^2}}} \Rightarrow AH = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

Vậy $d(A,(SBC)) = \frac{{ah}}{{\sqrt {{a^2} + {h^2}} }}$

d) $MN//(ABC)$ mà $MN \subset (MNP) \Rightarrow (MNP)//(ABC)$

Câu 4 :

Cho hàm số $y = \sin x$

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = - cosx$

Đúng

Sai

b) Biểu thức $y'(\frac{\pi }{2}) = 0$

Đúng

Sai

c) Biểu thức $y''(\frac{\pi }{2}) = 0$

Đúng

Sai

d) Biểu thức ${y^{(2024)}} = \sin (x + 1012\pi )$

Đúng

Sai

Đáp án

a) Đạo hàm của hàm số là $y' = - cosx$

Đúng

Sai

b) Biểu thức $y'(\frac{\pi }{2}) = 0$

Đúng

Sai

c) Biểu thức $y''(\frac{\pi }{2}) = 0$

Đúng

Sai

d) Biểu thức ${y^{(2024)}} = \sin (x + 1012\pi )$

Đúng

Sai

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm số lượng giác

Lời giải chi tiết :

a) $y' = (\sin x)' = cosx$

b) $y'(\frac{\pi }{2}) = \cos \frac{\pi }{2} = 0$

c) $\begin{array}{l}y'' = \left( {cosx} \right)' = - \sin x\\y''\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - 1\end{array}$

d) $\begin{array}{l}{y^{(n)}} = \sin (x + n\frac{\pi }{2})\\{y^{(2024)}} = \sin (x + 1012\pi )\end{array}$

Phần III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn.

Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6

Câu 1 :

Tính giới hạn: $\mathop {lim}\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{x - 2}}$ .

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp nhân liên hợp và phân tích thành nhân tử.

Lời giải chi tiết :

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\sqrt {4x + 1} - 3}}{{x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{\left( {\sqrt {4x + 1} - 3} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{(4x + 1) - 9}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}}$

$= \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4x - 8}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{{4(x - 2)}}{{\left( {x - 2} \right)\left( {\sqrt {4x + 1} + 3} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \frac{4}{{\sqrt {4x + 1} + 3}} = \frac{4}{{\sqrt {4.2 + 1} + 3}} = \frac{2}{3}$ .

Câu 2 :

Cho hàm số: $y = {\left( {{x^4} - 1} \right)^4}$ . Tính $y'(1)$

Phương pháp giải :

Sử dụng công thức tính đạo hàm của hàm hợp

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}y' = \left[ {{{\left( {{x^4} - 1} \right)}^4}} \right]' = 4.{\left( {{x^4} - 1} \right)^3}.4{x^3} = 16{x^3}{\left( {{x^4} - 1} \right)^3}\\y'(1) = 0\end{array}$

Câu 3 :

Phương pháp giải :

Bước 1: Tính $f({x_0}) = {f_2}({x_0})$

Bước 2: Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {f_1}(x) = L$

Bước 3: Nếu ${f_2}({x_0}) = L$ thì hàm số f(x) liên tục tại ${x_0}$

Nếu ${f_2}({x_0}) \ne L$ thì hàm số f(x) không liên tục tại ${x_0}$ _.

(Đối với bài toán tìm tham số m để hàm số liên tục tại x₀, ta thay bước 3 thành: Giải phương trình L = f₂(x₀), tìm m)

Lời giải chi tiết :

Hàm số đã cho xác định trên R

Ta có: $f(1) = 1 - m$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{(x - 1)(x - 2)}}{{x - 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} (x - 2) = - 1$

Để hàm số liên tục tại x = 1 khi $f(1) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \frac{{{x^2} - 3x + 2}}{{x - 1}} \Leftrightarrow 1 - m = - 1 \Leftrightarrow m = 2$

Câu 4 :

Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA $\bot$ (ABCD) và

SA = a $\sqrt 2$ . Tính tan của góc giữa hai mp (SBC) và (ABCD).

Phương pháp giải :

Sử dụng phương pháp tính góc giữa hai mặt phẳng

Lời giải chi tiết :

$\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}BC \bot AB\,\\BC \bot SA\,\,(Do\,\,SA \bot (ABCD))\\AB,SA \subset (SAB)\\AB \cap SA\end{array} \right. \Rightarrow BC \bot (SAB)\\ \Rightarrow BC \bot SB\end{array}$ $SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}(SBC) \cap (ABCD) = BC\\SB \subset (SBC),SB \bot BC\\AB \subset (ABCD),AB \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left( {(SBC),(ABCD)} \right) = (SB,AB)$

Do $SA \bot (ABCD) \Rightarrow SA \bot AB$ . Xét tam giác SAB vuông tại A có:

$\tan (SB,AB) = \tan \widehat {SBA} = \frac{{SA}}{{AB}} = \frac{{a\sqrt 2 }}{a} = \sqrt 2$

Câu 5 :

Phương pháp giải :

Lập biểu thức tính khoảng cách từ điểm $I( - 1;2)$ tới tiếp tuyển của đồ thị

Sử dụng BĐT Cauchy để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Lời giải chi tiết :

Giả sử $M({x_0};2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}) \in (C)$ . PTTT của (C) tại M là:

$y = \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}(x - {x_0}) + 2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}\,\,\,(\Delta )$

Hay $\begin{array}{l}(\Delta ):\,\,\,\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + \left[ {\frac{{3{x_0}}}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + 2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}} \right] = 0\,\,\,\\(\Delta ):\,\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}x - y + 2 - \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} = 0\\d(I,\Delta ) = \frac{{|\frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}{x_0} - (2 - \frac{3}{{{x_0} + 1}}) + 2 - \frac{3}{{{{({x_0} + 1)}^2}}}|}}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^4}}} + 1} }} = \frac{{6|{x_0} + 1|}}{{\sqrt {9 + {{({x_0} + 1)}^4}} }} = \frac{6}{{\sqrt {\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + {{({x_0} + 1)}^2}} }}\end{array}$

Áp dụng BĐT Cauchy: $\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} + {({x_0} + 1)^2} \ge 2\sqrt 9 = 6 \Rightarrow d \le \sqrt 6$

Dấu “=” xảy ra khi $\frac{9}{{{{({x_0} + 1)}^2}}} = {({x_0} + 1)^2} \Leftrightarrow {x_0} = - 1 \pm \sqrt 3$

Vậy có hai điểm cần tìm là $M( - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 )$ hoặc $M( - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 )$

Câu 6 :

Phương pháp giải :

Lượng thức ăn mà trang trại ăn hết ở ngày thứ k là: $M{(1 + r\% )^{k - 1}},k \in N*$

Trong đó:

M: là lượng thứ ăn trang trại ăn hết trong mỗi ngày

r (%): là % mức tiêu thụ thức ăn tăng thêm mỗi ngày

Lời giải chi tiết :

Theo dự định, mỗi ngày, trang trại ăn hết: $1:50 = \frac{1}{{50}}$ (lượng thức ăn)

Lượng thức ăn mà trang trại ăn hết ở ngày thứ k là: $\frac{1}{{50}}{(1 + 3\% )^{k - 1}},k \in N*$

Xác định số tự nhiên n nhỏ nhât để:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{50}} + \frac{1}{{50}}(1 + 3\% ) + \frac{1}{{50}}{(1 + 3\% )^2} + ... + \frac{1}{{50}}{(1 + 3\% )^{n - 1}} \ge 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{50}}(1 + 1,03 + 1,{03^2} + ... + 1,{03^{n - 1}}) \ge 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{{50}}.\frac{{1,{{03}^{n - 1}} - 1}}{{1,03 - 1}} \ge 1 \Leftrightarrow 1,{03^{n - 1}} - 1 \ge 1,5 \Leftrightarrow 1,{03^{n - 1}} \ge 2,5 \Leftrightarrow n - 1 \ge {\log _{1,03}}2,5 \Leftrightarrow n \ge 31,99 \Rightarrow {n_{Min}} = 32\end{array}$

Bài liên quan

Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 3

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 4

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 5

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 12. Mỗi câu hỏi thí sinh chỉ chọn một phương án.
Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 6

Phần I. Trắc nghiệm. Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.
Đề thi học kì 2 Toán 11 - Đề số 7

Phần I. Trắc nghiệm. Hãy chọn phương án trả lời đúng và viết chữ cái đứng trước đáp án đó vào bài làm.