Đề thi giữa kì 2 Toán 11 Kết nối tri thức - Đề số 4

Cho số thực a và số nguyên dương n $\left( {n \ge 2} \right)$. Số b được gọi là căn bậc n của số a nếu ${b^n} = a$.

Đáp án B.

$\sqrt[3]{{{{\left( {1 - \sqrt 5 } \right)}^3}}} = 1 - \sqrt 5$.

Đáp án A.

Vì $AA' \bot \left( {ABCD} \right)$ và AA’//BB’ nên $BB' \bot \left( {ABCD} \right)$

Đáp án B.

Có đúng một đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P).

Đáp án B.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $AI \bot BC$.

Vì tam giác DBC cân tại D nên DI là đường trung tuyến đồng thời là đường cao. Do đó, $DI \bot BC$.

Ta có: $AI \bot BC$, $DI \bot BC$, DI và AI cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (AID) nên $BC \bot \left( {AID} \right)$. Mà $AH \subset \left( {ADI} \right) \Rightarrow AH \bot CB$

Lại có: $AH \bot DI$, DI và BC cắt nhau tại I và nằm trong mặt phẳng (BCD). Do đó, $AH \bot \left( {BCD} \right)$. Do đó, hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (BCD) là điểm H.

Đáp án B.

Vì ABCD là hình thoi, O là giao điểm của AC và BD nên O là trung điểm của AC, O là trung điểm của BD.

Vì $SA = SC$ nên tam giác SAC cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, $SO \bot AC$.

Vì $SB = SD$ nên tam giác SBD cân tại S. Do đó, SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác. Suy ra, $SO \bot BD$.

Vì $SO \bot AC$, $SO \bot BD$ và BD và AC cắt nhau tại O và nằm trong mặt phẳng (ABCD) nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$. Do đó, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABCD) là điểm O.

Đáp án C.

Vì K là trọng tâm của tam giác DBC, DM là đường trung tuyến của tam giác DBC nên $\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{1}{3}$

Vì G là trọng tâm của tam giác ABC, AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên $\frac{{MG}}{{MA}} = \frac{1}{3}$

Tam giác DMA có: $\frac{{MK}}{{MD}} = \frac{{MG}}{{MA}}\left( { = \frac{1}{3}} \right)$ nên GK//AD

Mà $AD \bot \left( {ABC} \right)$ suy ra $GK \bot \left( {ABC} \right)$. Mà $AB \subset \left( {ABC} \right) \Rightarrow GK \bot AB$

Do đó, góc giữa hai đường thẳng GK và AB bằng ${90^0}$.

Đáp án C.

Điều kiện: ${\log _3}{x^5} \ge m > 0,x > 0$

$\left( {{4^x} - {{10.2}^x} + 16} \right)\sqrt {{{\log }_3}{x^5} - m}  = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{4^x} - {10.2^x} + 16 = 0\;\left( 1 \right)\\{\log _3}{x^5} - m = 0\;\;\left( 2 \right)\end{array} \right.$

Giải phương trình (1): ${\left( {{2^x}} \right)^2} - {10.2^x} + 16 = 0 \Leftrightarrow \left( {{2^x} - 2} \right)\left( {{2^x} - 8} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{2^x} - 2 = 0\\{2^x} - 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 1\\x = 3\end{array} \right.$ (thỏa mãn)

Vì $m \in \mathbb{N}*$ nên phương trình (2) luôn có nghiệm $x = \sqrt[5]{{{3^m}}}$. Để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt thì:

+ Trường hợp 1: $x = \sqrt[5]{{{3^m}}} = 1 \Rightarrow m = 0$ (loại)

+ Trường hợp 2: $x = \sqrt[5]{{{3^m}}} = 2 \Rightarrow {3^{\frac{m}{5}}} = 2 \Rightarrow m = 5{\log _3}2$ (loại)

+ Trường hợp 3: Phương trình đã cho chỉ nhận nghiệm $x = 3$ của phương trình (1) làm nghiệm, một nghiệm từ (2):

Khi đó, $\left\{ \begin{array}{l}m = 5{\log _3}x,x < 3\\5{\log _3}1 < m\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < m < 5\\x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}\\x = \sqrt[5]{{{3^m}}}\end{array} \right.$

Suy ra, với $m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$ thì phương trình đã cho có hai nghiệm $x = \sqrt[5]{{{3^m}}}$, $x = 3$.

Vậy $m \in \left\{ {1;2;3;4} \right\}$ phương trình đã cho có đúng hai nghiệm phân biệt.