Giải bài 12 trang 89 SGK Toán 8 tập 1– Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình hình hành $ABCD$ có $AD = 2AB$. Từ $C$ vẽ $CE$ vuông góc với $AB$ tại $E$. Nối $E$ với trung điểm $M$ của $AD$. Từ $M$ vẽ $MF$ vuông góc với $CE$ tại $F$, $MF$ cắt $BC$ tại $N$.

a) Tứ giác $MNCD$ là hình gì?

b) Chứng minh tam giác $EMC$ cân tại $M$

c) Chứng minh rằng $\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}$

Hướng dẫn:

a) Chứng minh $EN = NC = NB =$ $\frac{1}{2}$ $BC$

b) Chứng minh $\widehat {AEM} = \widehat {EMN} = \widehat {NMC} = \widehat {MCD} = \frac{1}{2}\widehat {NCD}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

$MN \bot CE$ (gt)

$AB \bot CE$ (gt)

Suy ra $MN$ // $AB$

$MN$Mà $AB$ // $CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành) nên $MN$

 // $CD$

Xét tứ giác $MNCD$ ta có:

$MN$ // $CD$ (cmt)

$MD$ // $CN$ (do $AD$ // $BC$)

Suy ra $MNCD$ là hình bình hành

Lại có:

 $AD = 2AB$ (gt);    

$AD = 2MD$ (do $M$ là trung điểm của $AD$)

$AB = CD$ (do $ABCD$ là hình bình hành)

Suy ra $MD = CD$

Hình bình hành $MNCD$ có $MD = CD$ (cmt) nên là hình thoi

b) Vì $MNCD$ là hình thoi nên $MD = CD = NC = MN = \frac{1}{2}AD = \frac{1}{2}BC$ (do $AD = BD$)

Do $NC = \frac{1}{2}BC$ nên $N$ là trung điểm của $BC$

Xét $\Delta EBC$ vuông tại $E$ có $EN$ là trung tuyến nên $EN = \frac{1}{2}BC$

Suy ra $EN = NB = NC = \frac{1}{2}BC$

Suy ra $\Delta NEC$ cân tại $N$

Mà $NF$ là đường cao (do $MF \bot EC$)

Suy ra $NF$ cũng là trung tuyến, phân giác, trung trực của $\Delta NEC$

Suy ra $F$ là trung điểm $EC$

Xét $\Delta MEC$ có $MF$ là đường cao đồng thời là trung tuyến

Suy ra $\Delta EMC$ cân tại $M$

c) Vì $AB$ // $MN$ (cmt)

Suy ra $\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{EMN}}}$ (so le trong)

Mà $\widehat {{\rm{EMN}}} = \widehat {{\rm{NMC}}}$ (do $MF$ là phân giác)

$\widehat {{\rm{NMC}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}$ (do $MN$ // $CD$)

Suy ra $\widehat {{\rm{AEM}}} = \widehat {{\rm{MCD}}}$

Mà $\widehat {{\rm{MCD}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BCD}}}$ (do $MNCD$ là hình thoi)

Và $\widehat {{\rm{BCD}}} = \widehat {{\rm{BAD}}}$ (do $ABCD$ là hình bình hành)

Suy ra $\widehat {{\rm{AEM}}} = \frac{1}{2}\widehat {{\rm{BAD}}}$

Suy ra $\widehat {BAD} = 2\widehat {AEM}$