Giải bài 9 trang 64 sách bài tập toán 12 - Chân trời sáng tạo

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $x,y,z$ theo thứ tự là số đo các góc hợp bởi vectơ $\overrightarrow {AC'}$ với các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} ,\overrightarrow {AA'}$. Chứng minh ${\cos ^2}x + {\cos ^2}y + {\cos ^2}z = 1$.

Một tàu kéo một xà lan trên biển di chuyển được 3 km với một lực kéo có cường độ 2000 N và có phương hợp với phương dịch chuyển một góc ({30^ circ }). Tính công thực hiện bởi lực kéo nói trên (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị của Jun).

Cho hình hộp (ABCD.A'B'C'D') có tất cả các cạnh bằng (a) và cho biết (widehat {BAD} = widehat {BAA'} = widehat {DAA'} = {60^ circ }). Tính các tích vô hướng sau: a) (overrightarrow {AB} .overrightarrow {AD} ); b) (overrightarrow {DA} .overrightarrow {DC} ); c) (overrightarrow {AA'} .overrightarrow {AC} ).

Cho hình lập phương $ABCD.A'B'C'D'$. Gọi $O,O'$lần lượt là tâm của các hình vuông $ABCD$ và $A'B'C'D'$; $I$ là giao điểm của $AC'$ và $A'C$. Chứng minh rằng: a) $\overrightarrow {OA'} + \overrightarrow {OB'} + \overrightarrow {OC'} + \overrightarrow {OD'} = 4\overrightarrow {OO'}$; b) $\overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DD'} = 2\overrightarrow {DI}$.

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có $AC'$ và $A'C$ cắt nhau tại $O$. Cho biết $AO = a$. Tính theo $a$ độ dài các vectơ: a) $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AA'}$; b) $\overrightarrow {C'B'} + \overrightarrow {C'D'} + \overrightarrow {A'A}$.