Giải bài tập 1.21 trang 32 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:
a) $y = - {x^3} + 3x + 1$;
b) $y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$.

Lời giải chi tiết

a) Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y' = - 3{x^2} + 3,y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1$

Trên khoảng $\left( { - 1;1} \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến. Trên khoảng $\left( { - \infty ; - 1} \right)$ và $\left( {1; + \infty } \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = 1$, giá trị cực đại ${y_{CĐ}}=3$ . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = - 1$, giá trị cực tiểu ${y_{CT}} = - 1$

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( { - {x^3} + 3x + 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( { - 1 + \frac{3}{{{x^2}}} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty$

Bảng biến thiên:

 

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3x + 1$ với trục tung là (0; 1).

Các điểm (1; 3); $\left( { - 1; - 1} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = - {x^3} + 3x + 1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (0; 1).

b) 1. Tập xác định: $D = \mathbb{R}$

2. Sự biến thiên:

Ta có: $y' = 3{x^2} + 6x - 1,y' = 0 \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}$ hoặc $x = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}$

Trên khoảng $\left( {\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3};\frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}} \right)$, $y' < 0$ nên hàm số nghịch biến. Trên khoảng $\left( { - \infty ;\frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}} \right)$ và $\left( {\frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}; + \infty } \right)$, $y' > 0$ nên hàm số đồng biến trên mỗi khoảng đó.

Hàm số đạt cực đại tại $x = \frac{{ - 3 - 2\sqrt 3 }}{3}$, giá trị cực đại . Hàm số đạt cực tiểu tại $x = \frac{{ - 3 + 2\sqrt 3 }}{3}$, giá trị cực tiểu ${y_{CT}} = \frac{{18 - 16\sqrt 3 }}{9}$.

Giới hạn tại vô cực: $\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = - \infty$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {{x^3} + 3{x^2} - x - 1} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {{x^3}\left( {1 + \frac{3}{x} - \frac{1}{{{x^2}}} - \frac{1}{{{x^3}}}} \right)} \right] = + \infty$

Bảng biến thiên:

3. Đồ thị:

Giao điểm của đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$ với trục tung là (0; -1).

Các điểm (-1; 2); $\left( {1;2} \right)$ thuộc đồ thị hàm số $y = {x^3} + 3{x^2} - x - 1$.

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (-1; 2).