Giải bài tập 17 trang 92 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

 

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) $y = \frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}$ trên đoạn $\left[ { - 1;2} \right]$;

b) $y = x + \sqrt {1 - {x^2}}$

Lời giải chi tiết

a) Ta có: $y' = {\left( {\frac{{x + 1}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} \right)'} = \frac{{\sqrt {{x^2} + 1}  - \frac{{2x\left( {x + 1} \right)}}{{2\sqrt {{x^2} + 1} }}}}{{{x^2} + 1}} = \frac{{{x^2} + 1 - {x^2} - x}}{{\left( {{x^2} + 1} \right)\sqrt {{x^2} + 1} }} = \frac{{1 - x}}{{\sqrt {{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^3}} }}$

$y' = 0 \Rightarrow x = 1 \in \left[ { - 1;2} \right]$

Ta có: $y\left( { - 1} \right) = 0;y\left( 1 \right) = \frac{2}{{\sqrt 2 }}=\sqrt 2 ;y\left( 2 \right) = \frac{3}{{\sqrt 5 }}$

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( 1 \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;2} \right]} y = y\left( { - 1} \right) = 0$

b) Tập xác định của hàm số là: $D = \left[ { - 1;1} \right]$

$y' = 1 + \frac{{ - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }},y' = 0 \Leftrightarrow \frac{{\sqrt {1 - {x^2}}  - x}}{{\sqrt {1 - {x^2}} }} = 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 - {x^2} = {x^2}\\ - 1 < x < 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x =  \pm \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

$y\left( {\frac{{ - \sqrt 2 }}{2}} \right) = 0;y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,y\left( { - 1} \right) =  - 1;y\left( 1 \right) = 1$

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = \sqrt 2 ,\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;1} \right]} y = y\left( { - 1} \right) =  - 1$