Giải bài tập 4.1 trang 10 SGK Toán 12 tập 2 - Cùng khám phá

Đề bài

Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là một nguyên hàm của hàm số còn lại? a) $x{e^x}$ và $(x - 1){e^x}$;

b) $\frac{1}{2}{\ln ^2}x$ và $\frac{{\ln x}}{x}$.

Lời giải chi tiết

a) Xét $f(x) = (x - 1){e^x}$, ta tính đạo hàm:

$f'(x) = \frac{d}{{dx}}[(x - 1){e^x}] = {e^x} + (x - 1){e^x} = x{e^x}$

Vậy $(x - 1){e^x}$ là nguyên hàm của $x{e^x}$.

b) Xét $f(x) = \frac{1}{2}{\ln ^2}x$, ta tính tích phân:

$f'(x) = \frac{d}{{dx}}\left( {\frac{1}{2}{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.\frac{d}{{dx}}\left( {{{\ln }^2}x} \right) = \frac{1}{2}.2.\ln x.\frac{d}{{dx}}\left( {\ln x} \right) = \ln x.\frac{1}{x} = \frac{{\ln x}}{x}$

Vậy $\frac{1}{2}{\ln ^2}x$ là nguyên hàm của $\ln x$.