Giải bài tập 4.12 trang 78 SGK Toán 9 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình thang ABCD (AD // BC) có $AD = 16cm,BC = 4cm,\widehat A = \widehat B = \widehat {ACD} = {90^0}.$

a) Kẻ đường cao CE của tam giác ACD. Chứng minh $\widehat {ADC} = \widehat {ACE}.$ Tính sin của các góc $\widehat {ADC},\widehat {ACE}$ và suy ra $A{C^2} = AE.AD.$ Từ đó tính AC.

b) Tính góc D của hình thang.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác CDE vuông tại E có:

$\widehat {DCE} + \widehat {ADC} = 90^\circ$ 

Theo bài ra ta có: $\widehat {ACD} = 90^\circ$ nên $\widehat {DCE} + \widehat {ACE}= 90^\circ$ 

Suy ra $\widehat {ADC} = \widehat {ACE}$ (cùng phụ với góc DCE)

Ta có $\sin \widehat {ADC} = \frac{{AC}}{{AD}};\sin \widehat {ACE} = \frac{{AE}}{{AC}}.$

Từ đó ta có $\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AE}}{{AC}}$ hay $A{C^2} = AE.AD.$

AECB là hình chữ nhật do $\widehat {BAE} = \widehat {ABC} = \widehat {AEC} = {90^0}$ do đó ta có $AE = BC = 4$ cm.

Nên $A{C^2} = AE.AD = 4.16 = 64$ hay $AC = \sqrt {64}  = 8$ cm (vì $AC > 0$)

b) $\sin \widehat {ADC} = \frac{{AC}}{{AD}}$ hay $\sin \widehat {ADC} = \frac{8}{{16}} = \frac{1}{2}$ hay $\sin \widehat {ADC} = {30^0}$