Giải bài tập 9 trang 45 SGK Toán 12 tập 1 - Cánh diều

Đề bài

 

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\);

b) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\);

c) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\);

d) \(y = \frac{x}{{2x + 3}}\);

e) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\);

g) \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\).

Lời giải chi tiết

a) \(y = {x^3} - 3{x^2} + 2\).

TXĐ: R.

\(y' = 3{x^2} - 6x\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 0}\\{x = 2}\end{array}} \right.\)

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số đồng biến trong khoảng \(\left( { - \infty ;0} \right)\) và \(\left( {2; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trong khoảng (0;2).

b) \(y =  - {x^3} + 3{x^2} - 6x\).

TXĐ: R.

\(y' = - 3{x^2} + 6x - 6 < 0\) với mọi x thuộc R.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên R.

c) \(y = \frac{{3x - 2}}{{x - 2}}\).

TXĐ: D = R\2.

\(y' = \frac{{ - 4}}{{{{(x - 2)}^2}}} < 0\), \(\forall x \in D\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} = 3\) suy ra TCN là y = 3.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \frac{{3x - 2}}{{x - 2}} =  - \infty \).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

Hàm số nghịch biến trên khoảng R.

d) \(y = \frac{x}{{2x + 3}}\).

TXĐ: D = R \ {\( - \frac{3}{2}\)}.

\(y = \frac{1}{{{{(2x + 3)}^2}}} > 0\), \(\forall x \in D\).

TCN \(y = \frac{1}{2}\).

TCĐ \(x =  - \frac{3}{2}\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

e) \(y = \frac{{{x^2} + 2x + 4}}{x}\).

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \{ 0\} \).

TCĐ: x = 0.

Không có tiệm cận ngang.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 + \frac{4}{x}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{4}{x} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{4}{x} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

\(y' = \frac{{\left( {2x + 2} \right)x - \left( {{x^2} + 2x + 4} \right)}}{{{x^2}}} = \frac{{{x^2} - 4}}{{{x^2}}}\).

Cho \(y’=0 \Rightarrow x= \pm 2\).

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số:

g) \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}}\).

TXĐ: \(\mathbb{R}\backslash \{  - 2\} \).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } y =  - \infty \). Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ + }} y =  - \infty ,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {2^ - }} y =  + \infty \). Đồ thị hàm số có \(x =  - 2\) là tiệm cận đứng.

Có thể viết hàm số đã cho dưới dạng: \(y = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{x + 2}} = x + 2 - \frac{1}{{x + 2}}\), suy ra:

\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\\\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left[ {y - (x + 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \frac{{ - 1}}{{x + 2}} = 0.\end{array}\)

Do đó, đồ thị hàm số có \(y = x + 2\) là tiệm cận xiên.

Bảng biến thiên:

Đồ thị hàm số: