Giải câu hỏi mở đầu trang 3 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

Đề bài

Một hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng. Biết tốc độ rơi của hòn đá (tính theo đơn vị m/s) tại thời điểm t (tính theo giây) được cho bởi công thức v(t) = 9,8t. Quãng đường rơi được S của hòn đá tại thời điểm t được cho bởi công thức nào? Sau bao nhiêu giây thì hòn đá chạm đến mặt đất?

Lời giải chi tiết

Gọi S = S(t) là quãng đường rơi được của hòn đá tại thời điểm t (S(t) tính theo m, t tính theo giây).

Suy ra S'(t) = v(t), do đó S(t) là một nguyên hàm của v(t).

Ta có $\int {v(t)dt}  = \int {9,8dt}  = 4,9{t^2} + C$. Suy ra $S(t) = 4,9{t^2} + C$.

Hòn đá rơi từ mỏm đá có độ cao 150 m so với mặt đất theo phương thẳng đứng tức là tại thời điểm t = 0 thì S = 0.

Ta có $S(0) = 4,{9.0^2} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0$.

Vậy công thức tính quãng đường rơi được S(t) của hòn đá tại thời điểm t là $S(t) = 4,9{t^2}$.

Khi hòn đá chạm đất thì $S(t) = 150 \Leftrightarrow 4,9{t^2} = 150 \Leftrightarrow t =  \pm \frac{{10\sqrt {15} }}{7}$.

Mà t > 0 nên $t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7}$.

Vậy sau $t = \frac{{10\sqrt {15} }}{7} \approx 5,53$ giây thì hòn đá chạm đến mặt đất.