Giải câu hỏi mở đầu trang 41 SGK Toán 12 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Trong không gian Oxyz, mắt một người quan sát ở điểm M(2;3;−4) và vật cần quan sát đặt tại điểm N(−1;0;8). Một tấm bìa chắn đường truyền của ánh sáng có dạng hình tròn với tâm O(0; 0; 0), bán kính bằng 3 và đặt trong mặt phẳng Oxy. Hỏi tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N hay không?

Lời giải chi tiết

Đường thẳng MN đi qua điểm $M\left( {2;3; - 4} \right)$ và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow {MN} \left( { - 3; - 3;12} \right)$ nên phương trình tham số của đường thẳng MN là: $\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - 3t\\y = 3 - 3t\\z =  - 4 + 12t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)$.

Mặt phẳng (Oxy) đi qua điểm $O\left( {0;0;0} \right)$ và có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow k \left( {0;0;1} \right)$ nên phương trình mặt phẳng Oxy: $z = 0$.

Vì D là giao điểm của đường thẳng MN với (Oxy) nên D$\left( {2 - 3t;3 - 3t; - 4 + 12t} \right)$

Mà D thuộc mặt phẳng (Oxy) nên $- 4 + 12t = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{3}$. Do đó, $D\left( {1;2;0} \right)$.

Ta có: $MD = \sqrt {{{\left( {1 - 2} \right)}^2} + {{\left( {2 - 3} \right)}^2} + {{\left( {0 + 4} \right)}^2}}  = 3\sqrt 2$.

$\overrightarrow {ND} \left( {2;2; - 8} \right) \Rightarrow ND = \sqrt {{2^2} + {2^2} + {{\left( { - 8} \right)}^2}}  = 6\sqrt 2$, $MN = \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + \left( { - {3^2}} \right) + {{12}^2}}  = 9\sqrt 2$.

Do đó, $MD + ND = MN$. Mà D thuộc đường thẳng MN suy ra điểm D nằm giữa hai điểm M và N.

Do đó, tấm bìa có che khuất tầm nhìn của người quan sát đối với vật đặt ở điểm N.