Giải mục 1 trang 28, 29, 30, 31 SGK Toán 12 tập 2 - Cánh diều

HĐ1

Trả lời câu hỏi Hoạt động 1 trang 28 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho hàm số $y = f(x) = {x^3} - 2{x^2} - x + 2$ có đồ thị minh họa ở Hình 11.

a) Quan sát Hình 11, hãy cho biết các hình phẳng ${H_1},{H_2},{H_3}$ lần lượt được giới hạn bởi các đường thẳng và đồ thị hàm số nào.

b) Tính diện tích ${S_{{H_1}}},{S_{{H_2}}},{S_{{H_3}}}$ của các hình phẳng đó.

c) Gọi H là tập hợp của các hình phẳng ${H_1},{H_2},{H_3}$. Hình phẳng H được gọi là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 3. Chứng tỏ rằng diện tích ${S_H}$ của hình phẳng H bằng ${S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}} = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx}$.

Phương pháp giải:

a) Quan sát hình vẽ.

b) Sử dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b là: $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

c) Sử dụng tính chất của tích phân $\int\limits_a^b {f(x)} dx = \int\limits_a^c {f(x)} dx + \int\limits_c^b {f(x)} dx$.

Lời giải chi tiết:

a) Hình ${H_1}$ được giới hạn bởi các đường thẳng x = 0, x = 1 và đồ thị hàm số y = f(x).

Hình ${H_2}$ được giới hạn bởi các đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = f(x).

Hình ${H_3}$ được giới hạn bởi các đường thẳng x = 2, x = 3 và đồ thị hàm số y = f(x).

b) ${S_{{H_1}}} = \int\limits_0^1 {f(x)dx}  = \int\limits_0^1 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)dx}$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{13}}{{12}}$.

$\int\limits_1^2 {f(x)dx = \int\limits_1^2 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_1^2 =  - \frac{5}{{12}} \Rightarrow {S_{{H_2} = }}\frac{5}{{12}}$.

${S_{{H_3}}} = \int\limits_2^3 {f(x)dx = \int\limits_2^3 {\left( {{x^3} - 2{x^2} - x + 2} \right)} } dx$

$= \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} - \frac{2}{3}{x^3} - \frac{{{x^2}}}{2} + 2x} \right)} \right|_2^3 = \frac{{37}}{{12}}$.

c) ${S_H} = {S_{{H_1}}} + {S_{{H_2}}} + {S_{{H_3}}}$

$= \int\limits_0^1 {f(x)dx}  + \left| {\int\limits_1^2 {f(x)dx} } \right| + \int\limits_2^3 {f(x)dx}  = \int\limits_0^3 {\left| {f(x)} \right|dx}$.

LT1

Trả lời câu hỏi Luyện tập 1 trang 29 SGK Toán 12 Cánh diều

Trong Hình 13, tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^2} - 2x$, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 3.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x)} \right|dx}$.

Lời giải chi tiết:

Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số $y = {x^2} - 2x$, trục Ox và hai đường thẳng x = -1, x = 3 là:

$\int\limits_{ - 1}^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  = \int\limits_{ - 1}^0 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  + \int\limits_0^2 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}  + \int\limits_2^3 {\left| {{x^2} - 2x} \right|dx}$

$= \int\limits_{ - 1}^0 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx}  + \int\limits_0^2 {\left[ { - \left( {{x^2} - 2x} \right)} \right]dx}  + \int\limits_2^3 {\left( {{x^2} - 2x} \right)dx}$

$= \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^0}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_2}\end{array}} \right.$

$= \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^0}\\{_{ - 1}}\end{array}} \right. - \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_0}\end{array}} \right. + \left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^3}\\{_2}\end{array}} \right.$

$=  - \left[ {\frac{{{{( - 1)}^3}}}{3} - {{( - 1)}^2}} \right] - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right) + \left[ {\left( {\frac{{{3^3}}}{3} - {3^2}} \right) - \left( {\frac{{{2^3}}}{3} - {2^2}} \right)} \right]$

$= \frac{4}{3} - \left( { - \frac{4}{3}} \right) + \frac{4}{3} = 4$.

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 30 SGK Toán 12 Cánh diều

Cho các hàm số $y = {2^x}$, y = x.

Gọi ${S_1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số $y = {2^x}$.

Gọi ${S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi trục Ox, hai đường thẳng x = 1, x = 2 và đồ thị hàm số y = x.

Gọi S là phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = {2^x}$, y = x và hai đường thẳng x = 1, x = 2.

(Hình 14)

a) Biểu diễn S theo ${S_1},{S_2}$.

b) So sánh S và $\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx}$.

Phương pháp giải:

Quan sát hình vẽ.

Lời giải chi tiết:

a) $S = {S_1} - {S_2}$.

b) $S = {S_1} - {S_2}$.

$\int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx}  = \int\limits_1^2 {{2^x}dx}  - \int\limits_1^2 {xdx}  = {S_1} - {S_2}$.

Vậy $S = \int\limits_1^2 {({2^x} - x)dx}$.

LT2

Trả lời câu hỏi Luyện tập 2 trang 31 SGK Toán 12 Cánh diều

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = 10 - {x^2}$, $y = {x^2} + 2$ và hai đường thẳng x = -2, x = 2.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức $S = \int\limits_a^b {\left| {f(x) - g(x)} \right|dx}$.

Lời giải chi tiết:

Ta có: $10 - {x^2} > {x^2} + 2$ với mọi $x \in [ - 2;2]$.

Do đó, diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đồ thị hàm số $y = 10 - {x^2}$, $y = {x^2} + 2$ và hai đường thẳng x = -2, x = 2 là:

$S = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {(10 - {x^2}) - ({x^2} + 2)} \right|dx}$

$= \int\limits_{ - 2}^2 {\left[ {(10 - {x^2}) - ({x^2} + 2)} \right]dx}$

$= \int\limits_{ - 2}^2 {(8 - 2{x^2})dx}  = \left( {8x - \frac{{2{x^3}}}{3}} \right)\left| {\begin{array}{*{20}{c}}{^2}\\{_{ - 2}}\end{array}} \right.$

$= \left( {8.2 - \frac{{{{2.2}^3}}}{3}} \right) - \left[ {8.( - 2) - \frac{{2.{{( - 2)}^3}}}{3}} \right]$

$= \frac{{32}}{3} - \left( { - \frac{{32}}{3}} \right) = \frac{{64}}{3}$.