Giải mục 2 trang 24, 25, 26 SGK Toán 8 tập 2 – Chân trời sáng tạo

HĐ2

Quan sát Hình 3.

a) So sánh hệ số góc của hai đường thẳng:

$d:y = 2x + 3$ và $d':y = 2x - 2$.

Nêu nhận xét về vị trí giữa hai đường thẳng này.

b) Tìm đường thẳng $d''$ đi qua gốc tọa độ $O$ và song song với đường thẳng $d$.

Phương pháp giải:

- Hệ số $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

- Đường thẳng đi qua gốc tọa độ có dạng $y = ax\left( {a \ne 0} \right)$.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d:y = 2x + 3$ có hệ số góc là $a = 2$.

Đường thẳng $d':y = 2x - 2$ có hệ số góc là $a' = 2$.

Hệ số góc của hai đường thẳng $d$ và $d'$ bằng nhau.

Từ đồ thị ta thấy, hai đường thẳng $d$ và $d'$ song song với nhau.

b) Đường thẳng $d''$ đi qua gốc tọa độ $O$ nên có dạng $y = a''x$.

Từ đồ thị ta thấy, $d''$ đi qua điểm $\left( {1;2} \right)$ nên ta có:

$2 = 1.a'' \Rightarrow a'' = 2$.

Do đó, đường thẳng $d''$ là $y = 2x$.

HĐ3

Quan sát Hình 4.

a) Tìm giao điểm của hai đường thẳng $d:y = 2x$  và $d':y = x$.

b) Nêu nhận xét về hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau.

c) Cho đường thẳng $d':y = ax + b$ và cho biết $d''$ cắt $d$. Hệ số góc $a$ của đường thẳng $d''$ có thể nhận giá trị nào?

Phương pháp giải:

- Giao điểm của hai đường thẳng là điểm chung mà cả hai đường thẳng đều đi qua.

- Hệ số $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

- Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau nếu hệ số góc của chúng bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a) Đường thẳng $d:y = 2x$  và $d':y = x$ đều có dạng $y = ax$ nên giao điểm của hai đường thẳng là $O\left( {0;0} \right)$ (cả hai đường thẳng đều đi qua điểm $O\left( {0;0} \right)$.

b)

- Hệ số góc của đường thẳng $d:y = 2x$ là$a = 2$.

- Hệ số góc của đường thẳng $d':y = x$ là$a = 1$.

Hai đường thẳng có hệ số góc khác nhau thì cắt nhau.

c) Vì $d$ và $d''$ cắt nhau nên chúng không thể song song với nhau hoặc trùng nhau. Do đó, hệ số góc của $d$ và $d''$ phải khác nhau. Khi đó, hệ số góc của $d''$ khác 2.

TH2

Hãy chỉ ra ba cặp đường thẳng cắt nhau và các cặp đường thẳng song song với nhau trong các đường thẳng sau:

${d_1}:y = 3x$; ${d_2}:y =  - 7x + 9$; 

${d_3}:y = 3x - 0,8$; ${d_4}:y =  - 7x - 1$; 

${d_5}:y = \sqrt 2 x + 10$; ${d_6}:y = \sqrt 2 x + \sqrt {10}$

Phương pháp giải:

- Hệ số $a$ là hệ số góc của đường thẳng $y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$.

- Hai đường thẳng phân biệt song song với nhau khi có hệ số góc bằng nhau.

- Hai đường thẳng cắt nhau khi có hệ số góc khác nhau.

Lời giải chi tiết:

Hệ số góc của đường thẳng ${d_1}:y = 3x$ là $a = 3$;

Hệ số góc của đường thẳng ${d_2}:y =  - 7x + 9$ là $a =  - 7$;

Hệ số góc của đường thẳng ${d_3}:y = 3x - 0,8$ là $a = 3$;

Hệ số góc của đường thẳng ${d_4}:y =  - 7x - 1$ là $a =  - 7$;

Hệ số góc của đường thẳng ${d_5}:y = \sqrt 2 x + 10$ là $a = \sqrt 2$;

Hệ số góc của đường thẳng ${d_6}:y = \sqrt 2 x + \sqrt {10}$ là $a = \sqrt 2$;

- Các cặp đường thẳng song song là:

${d_1}:y = 3x$ và ${d_3}:y = 3x - 0,8$ vì đều có hệ số góc $a = 3$ và chúng phân biệt với nhau do chúng cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

${d_2}:y =  - 7x + 9$ và ${d_4}:y =  - 7x - 1$ vì đều có hệ số góc $a =  - 7$và chúng phân biệt với nhau do chúng cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

${d_5}:y = \sqrt 2 x + 10$ và ${d_6}:y = \sqrt 2 x + \sqrt {10}$ vì đều có hệ số góc $a = \sqrt 2$và chúng phân biệt với nhau do chúng cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

- Ba cặp đường thẳng cắt nhau là:

${d_1}:y = 3x$ và ${d_4}:y =  - 7x - 1$ vì có hệ số góc khác nhau $\left( {3 \ne  - 7} \right)$.

${d_2}:y =  - 7x + 9$ và ${d_6}:y = \sqrt 2 x + \sqrt {10}$ vì có hệ số góc khác nhau $\left( { - 7 \ne \sqrt 2 } \right)$.

${d_3}:y = 3x - 0,8$ và ${d_5}:y = \sqrt 2 x + 10$ vì có hệ số góc khác nhau $\left( {3 \ne \sqrt 2 } \right)$.

VD2

Hai ô tô khởi cùng lúc và cùng vận tốc 50 $km/h$, một ô tô bắt đầu từ $B$, một ô tô bắt đầu từ $C$ và cùng đi về phía $D$.

a) Viết công thức của hai hàm số biểu thị khoảng cách từ $A$ đến mỗi xe sau $x$ giờ.

b) Chứng tỏ đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

- Quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian $t\left( h \right)$ với vận tốc $v\left( {km/h} \right)$ là:

$s = v.t$

- Khoảng cách của xe sau $t\left( h \right)$ với một điểm là:

$y = {y_0} + v.t$

Với ${y_0}$ là khoảng cách của xe với điểm ở thời điểm ban đầu, $v$ là vận tốc của xe, t là thời gian xe đã đi.

- Hai hàm số có đồ thị là hai đường thẳng song song nếu chúng phân biệt và có hệ số góc bằng nhau.

Lời giải chi tiết:

a)

- Quãng đường xe ô tô khởi hành từ $B$ đi được sau khoảng thời gian $x\left( h \right)$ với vận tốc 50 km/h là: $s = v.t = 50.x$

Khi đó, công thức biểu thị khoảng cách từ điểm $A$ đến xe là:

$y = {y_0} + v.t = 3 + 50.x$.

- Quãng đường xe ô tô khởi hành từ $C$ đi được sau khoảng thời gian $x\left( h \right)$ với vận tốc 50 km/h là: $s = v.t = 50.x$

Khi đó, công thức biểu thị khoảng cách từ điểm $A$ đến xe là:

$y = {y_0} + v.t = 5 + 50.x$.

b) Đồ thị của hai hàm số trên là hai đường thẳng phân biệt vì cắt $Oy$ tại hai điểm phân biệt.

Hai đường thẳng đó song song với nhau vì hệ số góc của hai đường thẳng này bằng nhau (đều có $a = 50$).