Giải mục 2 trang 54, 55 SGK Toán 11 tập 1 - Cánh Diều

HĐ2

Trả lời câu hỏi Hoạt động 2 trang 54 SGK Toán 11 Cánh diều

Cho cấp số nhân $\left( {{u_n}} \right)$ có số hạng đầu ${u_1}$, công bội q.

a) Viết năm số hạng đầu của cấp số nhân theo ${u_1}$ và q.

b) Dự đoán công thức tính ${u_n}$ theo ${u_1}$ và q.

Phương pháp giải:

Dựa vào định nghĩa cấp số nhân để xác định.

Lời giải chi tiết:

a) Ta có:

- Số hạng thứ nhất: ${u_1}$.

- Số hạng thứ hai: ${u_2} = {u_1}.q$.

- Số hạng thứ ba: ${u_3} = {u_2}.q = \left( {{u_1}.q} \right).q = {u_1}.{q^2}$.

- Số hạng thứ tư: ${u_4} = {u_3}.q = \left( {{u_1}.{q^2}} \right).q = {u_1}.{q^3}$.

- Số hạng thứ năm: ${u_5} = {u_4}.q = \left( {{u_1}.{q^3}} \right).q = {u_1}.{q^4}$.

b) Dự đoán công thức tính: ${u_n} = {u_1}.{q^{n - 1}}$.

LT-VD3

Trả lời câu hỏi Luyện tập - Vận dụng 3 trang 55 SGK Toán 11 Cánh diều

Bác Linh gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng tiền tiết kiệm với hình thức lãi kép, kì hạn 1 năm với lãi suất 6%/năm. Viết công thức tính số tiền (cả gốc lẫn lãi) mà bác Linh có được sau n năm (giả sử lãi suất không thay đổi qua các năm).

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân.

Lời giải chi tiết:

Số tiền ban đầu $T_1 = 100$ (triệu đồng).

Số tiền sau 1 năm bác Linh thu được là:

$T_2 = 100 + 100.6\% = 100.(1 + 6\%)$ (triệu đồng).

Số tiền sau 2 năm bác Linh thu được là:

$T_3 = 100.(1 + 6\%) + 100.(1 + 6\%).6\% = 100.(1 + 6\%)^2$ (triệu đồng).

Số tiền sau 3 năm bác Linh thu được là:

$T_4 = 100.(1 + 6\%)^2 + 100.(1 + 6\%)^2.6\% = 100.(1 + 6\%)^3$ (triệu đồng).

Số tiền sau n năm bác Linh thu được chính là một cấp số nhân với số hạng đầu $T_1 = 100$ và công bội q = 1 + 6% có số hạng tổng quát là:

$T_{n + 1} = 100.(1 + 6\%)^n$ (triệu đồng).