1. Nguyên hàm của một hàm số
a) Khái niệm nguyên hàm
| Cho hàm số f(x) xác định trên một khoảng K (hoặc một đoạn, một nửa khoảng). Hàm số F(x) được gọi là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu F’(x) = f(x) với mọi x thuộc K. |
b) Họ nguyên hàm của một hàm số
|
Giả sử hàm số F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K. Khi đó:
a) Với mỗi hằng số C, hàm số F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K.
b) Nếu hàm số G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì tồn tại một hằng số C sao chp G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K.
Như vậy, nếu F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K thì mọi nguyên hàm của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C (C là hằng số). Ta gọi F(x) + C là họ các nguyên hàm của f(x) trên K, kí hiệu bởi \(\int {f(x)dx} \).
|
2. Tính chất cơ bản của nguyên hàm
- \(\int {kf(x)dx = k\int {f(x)dx\,\,(k \ne 0)} } \);
- \(\int {\left[ {f(x) + g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx + \int {g(x)dx} } \);
- \(\int {\left[ {f(x) - g(x)} \right]} dx = \int {f(x)dx - \int {g(x)dx} } \).
|
3. Nguyên hàm của một số hàm số thường gặp
a) Nguyên hàm của hàm số lũy thừa
|
Hàm số lũy thừa \(y = {x^\alpha }(\alpha \in R)\) có đạo hàm với mọi x > 0 và \(({x^\alpha })' = \alpha {x^{\alpha - 1}}\).
- \(\int {{x^\alpha }dx = \frac{{{x^{\alpha + 1}}}}{{\alpha + 1}} + C(\alpha \ne - 1)} \);
- \(\int {\frac{1}{x}x = \ln \left| x \right| + C} \).
|
b) Nguyên hàm của hàm số lượng giác
|
\(\int {\cos xdx = \sin x + C} \);
\(\int {\sin xdx = - \cos x + C} \);
\(\int {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx = \tan x + C} \);
\(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}dx = - \cot x + C} \).
|
c) Nguyên hàm của hàm số mũ
- \(\int {{e^x}dx = {e^x} + C} \);
- \(\int {{a^x}dx = \frac{{{a^x}}}{{\ln a}} + C(0 < a \ne 1)} \).
|
Chia sẻ
Bình luận
