Bài 1 trang 23 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a) $\frac{{5\pi }}{{12}}$.

b) $-{\rm{ }}{555^0}$.

Lời giải chi tiết

a, Ta có:

$\begin{array}{l}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \cos \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} - \sin \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

$\begin{array}{l}\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \left( {\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{6}} \right) = \sin \frac{\pi }{4}\cos \frac{\pi }{6} + \cos \frac{\pi }{4}sin\frac{\pi }{6}\\ = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} = \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

$\tan \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{{sin\frac{{5\pi }}{{12}}}}{{cos\frac{{5\pi }}{{12}}}} = 2 + \sqrt 3$

$\cot \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{{\tan \frac{{5\pi }}{{12}}}} = \frac{1}{{2 + \sqrt 3 }}$

b, Ta có:

$\cos ( - {555^o}) = \cos {555^o} = \cos \left( {3\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right) = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{{12}}} \right)$

$\begin{array}{l} =  - \cos \frac{\pi }{{12}} =  - \cos \left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\ =  - \left( {\cos \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} + \sin \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}} \right) =  - \frac{{\sqrt 6  + \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

Ta có:

$\sin ( - {555^o}) = \sin \left( { - 3\pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right) = \sin \left( { - \pi  - \frac{\pi }{{12}}} \right)$

$\begin{array}{l}= sin\frac{\pi }{{12}} = sin\left( {\frac{\pi }{3} - \frac{\pi }{4}} \right)\\ = \sin \frac{\pi }{3}\cos \frac{\pi }{4} - \cos \frac{\pi }{3}sin\frac{\pi }{4}\\ = \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} - \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 6  - \sqrt 2 }}{4}\end{array}$

$\tan \left( { - {{555}^0}} \right) = \frac{{\sin \left( { - {{555}^0}} \right)}}{{\cos \left( { - {{555}^0}} \right)}} =  - 2 + \sqrt 3$

$\cot \left( { - {{555}^0}} \right) = \frac{1}{{ - 2 + \sqrt 3 }} =  - 2 - \sqrt 3$