Bài 1 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y = \frac{1}{{2x + 3}}$.

b) $y = {\log _3}x$.

c) $y = {2^x}$.

Lời giải chi tiết

a)

$y' = \left( {\frac{1}{{2x - 3}}} \right)' = \frac{{1'\left( {2x + 3} \right) - 1\left( {2x + 3} \right)'}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}} =  - \frac{2}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}$.

$y'' = \left[ { - \frac{2}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^2}}}} \right]' =  - \frac{{2'{{\left( {2x - 3} \right)}^2} - 2\left[ {{{\left( {2x - 3} \right)}^2}} \right]'}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}}$

$=  - \frac{{ - 2.2\left( {2x - 3} \right)'\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}} = \frac{{8\left( {2x - 3} \right)}}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^4}}} = \frac{8}{{{{\left( {2x - 3} \right)}^3}}}$.

b)

$y' = \left( {{{\log }_3}x} \right)' = \frac{1}{{x\ln 3}}$.

$y'' = \left( {\frac{1}{{x\ln 3}}} \right)' =  - \frac{{\left( {x\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}}$

$=  - \frac{{\ln 3}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} =  - \frac{{\ln 3}}{{{{\left( {x\ln 3} \right)}^2}}} =  - \frac{1}{{x.\ln 3}}$.

c)

$y' = \left( {{2^x}} \right)' = {2^x}.\ln 2$.

$y'' = \left( {{2^x}.\ln 2} \right)' = {2^x}.\ln 2.\ln 2 = {2^x}.{\left( {\ln 2} \right)^2}$.