Bài 2 trang 75 SGK Toán 11 tập 2 - Cánh Diều

Đề bài

Tìm đạo hàm cấp hai của mỗi hàm số sau:

a) $y = 3{x^2} - 4x + 5$ tại điểm ${x_0} =  - 2$.

b) $y = {\log _3}(2x + 1)$ tại điểm ${x_0} = 3$.

c) $y = {e^{4x + 3}}$ tại điểm ${x_0} = 1$.

d) $y = \sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$ tại điểm ${x_0} = \frac{\pi }{6}$.

e) $y = \cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)$ tại điểm ${x_0} = 0$.

Lời giải chi tiết

a) $y' = 6x - 4 \Rightarrow y'' = 6$.

Tại ${x_0} =  - 2 \Rightarrow y''( - 2) = 6$.

b)

$y' = \frac{{\left( {2x + 1} \right)'}}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}} = \frac{2}{{\left( {2x + 1} \right)\ln 3}}$

$\Rightarrow y'' = \left( {2.\frac{1}{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}}} \right)' =  - 2.\frac{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)'}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}$

$=  - 2\frac{{2\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2x + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}}$.

Tại ${x_0} = 3 \Rightarrow y''(3) = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {\left( {2.3 + 1} \right)\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4\ln 3}}{{{{\left( {7\ln 3} \right)}^2}}} = \frac{{ - 4}}{{49\ln 3}}$.

c) $y' = 4{e^{4x + 3}} \Rightarrow y'' = 16{e^{4x + 3}}$.

Tại ${x_0} = 1 \Rightarrow y''(1) = 16.{e^{4.1 + 3}} = 16.{e^7}$.

d)$y' = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \Rightarrow y'' =  - 4\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right)$.

Tại ${x_0} = \frac{\pi }{6} \Rightarrow y''\left( {\frac{\pi }{6}} \right) =  - 4\sin \left( {2.\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 2\sqrt 3$.

e) $y' =  - 3.\sin \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right) \Rightarrow y'' =  - 9.\cos \left( {3x - \frac{\pi }{6}} \right)$.

Tại ${x_0} = 0 \Rightarrow y''(0) =  - 9.\cos \left( {3.0 - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{{ - 9\sqrt 3 }}{2}$.