Bài 12 trang 106 SGK Toán 11 tập 2 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ có đáy ABCD là hình chữ nhật. Biết $AC = AA' = 2a$. Giá trị lớn nhất của thể tích hình hộp $ABCD.A'B'C'D'$ bằng

A. $8{a^3}$.                

B. $6{a^3}$.                          

C. $4{a^3}$.                          

D. ${a^3}$.

Lời giải chi tiết

Ta có diện tích đáy $S = AB.AC \le \frac{{A{B^2} + A{C^2}}}{2} = \frac{{A{C^2}}}{2} = \frac{{4{a^2}}}{2} = 2{a^2}$

Dấu “=” xảy ra khi AB = AC

Chiều cao của hình hộp là $h = AA'.\sin \left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) \le AA' = 2a$

Dấu “=” xảy ra khi $\left( {AA',\left( {ABCD} \right)} \right) = {90^0}$

Thể tích của hình hộp là $V = h.S \le 2a.2{a^2} = 4{a^3}$

Dấu “=” xảy ra khi $ABCD.A'B'C'D'$ là hình hộp đứng có đáy là hình vuông.

Đáp án C