Bài 12 trang 87 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Một chân cột bằng gang có dạng hình chóp cụt tứ giác đều có cạnh đáy lớn bằng $2a$, cạnh đáy nhỏ bằng $a$, chiều cao $h = 2a$ và bán kính đáy phần trụ rỗng bên trong bằng $\frac{a}{2}$.

a) Tìm góc phẳng nhị diện tạo bởi mặt bên và mặt đáy.

b) Tính thể tích chân cột nói trên theo $a$.

Lời giải chi tiết

Mô hình hoá chân cột bằng gang bằng cụt chóp tứ giác đều $ABCD.A'B'C'D'$ với $O,O'$ là tâm của hai đáy. Vậy $AB = 2{\rm{a}},A'B' = a,OO' = 2a$.

Gọi $M,M'$ lần lượt là trung điểm của $CD,C'D'$.

$A'B'C'{\rm{D}}'$ là hình vuông $\Rightarrow O'M' \bot C'{\rm{D}}'$

$CDD'C'$ là hình thang cân $\Rightarrow MM' \bot C'D'$

Vậy $\widehat {MM'O'}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy nhỏ, $\widehat {M'MO}$ là góc phẳng nhị diện giữa mặt bên và đáy lớn.

Kẻ $M'H \bot OM\left( {H \in OM} \right)$

$OMM'O'$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow OH = O'M' = \frac{a}{2},OM = a,MH = OM - OH = \frac{{\rm{a}}}{2}$

$\begin{array}{l}\tan \widehat {M'MO} = \frac{{M'H}}{{MH}} = 4\\ \Rightarrow \widehat {M'MO} = 75,{96^ \circ } \Rightarrow \widehat {MM'O'} = {180^ \circ } - \widehat {M'MO} = 104,{04^ \circ }\end{array}$

b) Diện tích đáy lớn là: $S = A{B^2} = 4{{\rm{a}}^2}$

Diện tích đáy bé là: $S' = A'B{'^2} = {a^2}$

Thể tích hình chóp cụt là: ${V_1} = \frac{1}{3}h\left( {S + \sqrt {SS'}  + S'} \right) = \frac{1}{3}.2a\left( {4{{\rm{a}}^2} + \sqrt {4{{\rm{a}}^2}.{a^2}}  + {a^2}} \right) = \frac{{14{{\rm{a}}^3}}}{3}$

Thể tích hình trụ rỗng là: ${V_2} = \pi {R^2}h = \pi .{\left( {\frac{a}{2}} \right)^2}.2{\rm{a}} = \frac{{\pi {a^3}}}{2}$

Thể tích chân cột là: $V = {V_1} - {V_2} = \left( {\frac{{14}}{3} - \frac{\pi }{2}} \right){a^3}$.