Bài 13 trang 42 SGK Toán 11 tập 1 - Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho vận tốc $v{\rm{ }}\left( {cm/s} \right)$ của một con lắc đơn theo thời gian t (giây) được cho bởi công thức $v =  - 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right).$

Xác định các thời điểm t mà tại đó:

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất

b) Vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s

Lời giải chi tiết

Do $- 1 \le sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1 \Leftrightarrow  - 3 \le  - 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 3 \Leftrightarrow  - 3 \le v \le 3$

a) Vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất khi

 $- 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 3 \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) =  - 1$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{2}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{2} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{2} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow t =  - \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.\end{array}$

Vì vậy vận tốc con lắc đạt giá trị lớn nhất tại các thời điểm $t =  - \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3},k \in \mathbb{Z}.$

b) Để vận tốc con lắc bằng 1,5 cm/s thì $- 3sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1,5 \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) =  - \frac{1}{2}$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow sin\left( {1,5t + \frac{\pi }{3}} \right) = \sin \left( { - \frac{\pi }{6}} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}1,5t + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{6} + k2\pi \\1,5t + \frac{\pi }{3} = \pi  + \frac{\pi }{6} + k2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}\\t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}\end{array} \right.\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\end{array}$

Vậy tại các thời điểm $t =  - \frac{\pi }{3} + k\frac{{4\pi }}{3}$, $t = \frac{{5\pi }}{9} + k\frac{{4\pi }}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$ thì vận tốc của con lắc đạt 1,5 cm/s.