Bài 2 trang 64 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình vuông $ABCD$. Gọi $H,K$ lần lượt là trung điểm của $AB,AD$. Trên đường thẳng vuông góc với $\left( {ABCD} \right)$ tại $H$, lấy điểm $S$. Chứng minh rằng:

a) $AC \bot \left( {SHK} \right)$;

b) $CK \bot \left( {SDH} \right)$.

Lời giải chi tiết

 

a) Ta có:

$H$ là trung điểm của $AB$

$K$ là trung điểm của $AD$

$\Rightarrow HK$ là đường trung bình của $\Delta ABD$

$\Rightarrow HK\parallel B{\rm{D}}$

$ABCD$ là hình vuông $\Rightarrow AC \bot B{\rm{D}}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot BD\\HK//BD\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot HK$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}AC \bot HK - cmt\\AC \bot SH\,(Do\,SH \bot (ABCD))\\HK,SH \subset (SHK);HK \cap SH\end{array} \right. \Rightarrow AC \bot (SHK)$

b) Gọi $I = CK \cap DH$.

Xét $\Delta AH{\rm{D}}$ và $\Delta DKC$ có:

$\left. \begin{array}{l}AH = DK\\\widehat {HA{\rm{D}}} = \widehat {K{\rm{D}}C}\\A{\rm{D}} = C{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow \Delta AH{\rm{D}} = \Delta DKC\left( {c.g.c} \right) \Rightarrow \widehat {A{\rm{D}}H} = \widehat {DCK}$

Mà $\widehat {DKC} + \widehat {DCK} = {90^ \circ }$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \widehat {DKC} + \widehat {ADH} = {90^0} \Rightarrow \widehat {DKI} = {180^0} - (\widehat {DKC} + \widehat {ADH}) = {90^0}\\ \Rightarrow DH \bot CK\end{array}$

Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}CK \bot DH - cmt\\CK \bot SH\,\,(Do\,SH \bot (ABCD))\\DH,SH \subset (SDH);DH \cap SH\end{array} \right. \Rightarrow CK \bot (SDH)$