Bài 2 trang 85 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có $O$ là tâm của đáy và có tất cả các cạnh bằng nhau.

a) Tìm góc giữa đường thẳng $SA$ và $\left( {ABCD} \right)$.

b) Tim góc phẳng nhị diện $\left[ {A,SO,B} \right];\left[ {S,AB,O} \right]$.

Lời giải chi tiết

 

a) $S.ABCD$ là hình chóp tứ giác đều có $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow \left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {SA,OA} \right) = \widehat {SAO}$

Giả sử hình chóp tứ giác đều có tất cả các cạnh bằng $a$.

$\begin{array}{l}AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow AO = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}\\\cos \widehat {SAO} = \frac{{AO}}{{SA}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \widehat {SAO} = {45^ \circ }\end{array}$

Vậy $\left( {SA,\left( {ABCD} \right)} \right) = {45^ \circ }$

b) Gọi $I$ là trung điểm của $AB$

$SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AO,SO \bot BO$

Vậy $\widehat {AOB}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {A,SO,B} \right]$.

$ABC{\rm{D}}$ là hình vuông $\Rightarrow \widehat {AOB} = {90^ \circ }$

$\Delta SAB$ đều $\Rightarrow SI \bot AB$

$\Delta OAB$ vuông cân tại $O \Rightarrow OI \bot AB$

Vậy $\widehat {SIO}$ là góc phẳng nhị diện $\left[ {S,AB,O} \right]$.

Ta có: $O$ là trung điểm của $BD$

$I$ là trung điểm của $AB$

$\Rightarrow OI$ là đường trung bình của $\Delta AB{\rm{D}}$

$\Rightarrow OI = \frac{1}{2}AD = \frac{a}{2}$

$SO = \sqrt {S{A^2} - A{O^2}}  = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\tan \widehat {SIO} = \frac{{SO}}{{OI}} = \sqrt 2  \Rightarrow \widehat {SIO} \approx 54,{7^ \circ }$