Bài 3 trang 81 SGK Toán 11 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a$, $SA = SB = SC = SD = a\sqrt 2$. Gọi $I,J$ lần lượt là trung điểm của $AB$ và $C{\rm{D}}$.

a) Chứng minh $AB \bot \left( {SIJ} \right)$.

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $SC$.

Lời giải chi tiết

 

a) Gọi $O$ là tâm của đáy

$\Rightarrow SO \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SO \bot AB$

$I$ là trung điểm của $AB$

$J$ là trung điểm của $C{\rm{D}}$

$\Rightarrow IJ$ là đường trung bình của hình vuông $ABCD$

$\left. \begin{array}{l} \Rightarrow IJ\parallel A{\rm{D}}\\AB \bot A{\rm{D}}\end{array} \right\} \Rightarrow IJ \bot AB$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}SO \bot AB\\IJ \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow AB \bot \left( {SIJ} \right)$

b) Kẻ $IH \bot SJ\left( {H \in SJ} \right),OK \bot SJ\left( {K \in SJ} \right) \Rightarrow IH\parallel OK$

$O$ là trung điểm của $IJ \Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K$

Ta có:

$\left. \begin{array}{l}AB\parallel C{\rm{D}}\\C{\rm{D}} \subset \left( {SC{\rm{D}}} \right)\end{array} \right\} \Rightarrow AB\parallel \left( {SC{\rm{D}}} \right) \Rightarrow d\left( {AB,SC} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right)$

$\begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}\left. \begin{array}{l}AB \bot \left( {SIJ} \right)\\C{\rm{D}}\parallel AB\end{array} \right\} \Rightarrow C{\rm{D}} \bot \left( {SIJ} \right) \Rightarrow C{\rm{D}} \bot IH\\ & IH \bot SJ\end{array} \right\} \Rightarrow IH \bot \left( {SC{\rm{D}}} \right)\\ \Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = d\left( {AB,\left( {SC{\rm{D}}} \right)} \right) = IH\end{array}$

$O$ là trung điểm của $IJ$, $IH\parallel {\rm{O}}K$$\Rightarrow IH = 2{\rm{O}}K$

$O$ là trung điểm của $B{\rm{D}}$

$J$ là trung điểm của $C{\rm{D}}$

$\Rightarrow OJ$ là đường trung bình của $\Delta BCD$

$\Rightarrow OJ = \frac{1}{2}BC = \frac{a}{2}$

$\Delta ABC$ vuông tại $B$$\Rightarrow AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}}  = a\sqrt 2  \Rightarrow OA = \frac{1}{2}AC = \frac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Delta SAO$ vuông tại $O$$\Rightarrow SO = \sqrt {S{A^2} - O{A^2}}  = \frac{{a\sqrt 6 }}{2}$

$\Delta SOJ$ vuông tại $O$ có đường cao $OK$

$\Rightarrow OK = \frac{{SO.OJ}}{{\sqrt {S{O^2} + O{J^2}} }} = \frac{{a\sqrt {42} }}{{14}}$

$\Rightarrow d\left( {AB,C{\rm{D}}} \right) = IH = 2OK = \frac{{a\sqrt {42} }}{7}$