Giải bài 1 trang 127 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Cho hình chóp S. ABCD có đáy là hình thang ABCD, AD//BC, $AD = 2BC$. Gọi E, F, I lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AD, SD.

a) Chứng minh (BEF)//(SCD) và CI//(BEF).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

c) Tìm giao điểm K của FI với giao tuyến vừa tìm được ở câu b, từ đó chứng minh (SBF)//(KCD).

Lời giải chi tiết

a) Vì E, F lần lượt là trung điểm của SA và AD nên EF là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra EF//SD.

Mà $SD \subset \left( {SCD} \right)$, EF không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên EF//(SCD).

Vì F là trung điểm của AD nên $AF = FD = \frac{1}{2}AD$, mà $AD = 2BC$ nên $BC = AF = FD$

Lại có, BC//AD hay BC//DF.

Do đó, tứ giác BFDC là hình bình hành nên BF//CD.

Mà $CD \subset \left( {SCD} \right)$, BF không nằm trong mặt phẳng (SCD) nên BF//(SCD).

Vì EF//(SCD), BF//(SCD), EF và BF cắt nhau tại F và nằm trong mặt phẳng (BEF)

Do đó, (BEF)//(SCD).

Vì E, I lần lượt là trung điểm của SA, SD nên EI là đường trung bình của tam giác SAD, do đó, EI//AD và $EI = \frac{1}{2}AD$

Mà AD//BC, $BC = \frac{1}{2}AD$ nên EI//BC và $EI = BC$. Do đó, tứ giác EICB là hình bình hành nên CI//BE

Mà $BE \subset \left( {BEF} \right)$, CI không nằm trong mặt phẳng (BEF) nên CI//(BEF).

b) Ta có: BC//AD, $BC \subset \left( {SBC} \right),AD \subset \left( {SAD} \right)$, mà $S = \left( {SAD} \right) \cap \left( {SBC} \right)$.

Do đó, giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD) là đường thẳng d đi qua S và song song song với BC, AD.

c) Vì $d \subset \left( {SAD} \right),FI \subset \left( {SAD} \right)$ nên trong mặt phẳng (SAD), gọi K là giao điểm của FI và d.

Vì I, F lần lượt là trung điểm của SD, AD nên IF là đường trung bình của tam giác SAD. Do đó, IF//SA hay KF//SA

Mà SK//AF nên SKFA là hình bình hành. Do đó, $SK = AF$

Mà $FD = AF$ nên $SK = FD$

Tứ giác SKDF có: $SK = FD$, SK//DF nên SKDF là hình bình hành. Suy ra, SF//KD.

Vì SF//KD, $KD \subset \left( {KCD} \right)$, SF không nằm trong mặt phẳng (KCD) nên SF//(KCD).

Vì BF//CD, $CD \subset \left( {KCD} \right)$, BF không nằm trong mặt phẳng (KCD) nên BF//(KCD).

Lại có: SF và BF cắt nhau tại F và nằm trong mặt phẳng (SBF) nên (SBF)//(KCD).