Giải bài 2.24 trang 27 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Một hợp tác xã chăn nuôi dự định trộn hai loại thức ăn gia súc $X$ và gia súc $Y$ để tạo thành thức ăn hỗn hợp cho gia súc. Giá một bao loại $X$ là 250 nghìn đồng, giá một bao loại $Y$ là 200 nghìn đồng. Mỗi bao loại $X$ chứa 2 đơn vị chất dinh dưỡng A, 2 đơn vị chất dinh dưỡng B và 2 đơn vị chất dinh dưỡng C. Mỗi bao loại $Y$ chứa 1 đơn vị chất dinh dưỡng A, 9 đơn vị chất dinh dưỡng B và 3 đơn vị chất dinh dưỡng C. Tìm chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc $X$ và $Y$ sao cho hỗn hợp thu được tối thiểu 12 đơn vị chất dinh dưỡng A, 36 đơn vị chất dinh dưỡng B và 24 đơn vị chất dinh dưỡng C.

A. $1,95$ triệu đồng.

B. $4,5$ triệu đồng.

C. $1,85$ triệu đồng.

D. $1,7$ triệu đồng.

Lời giải chi tiết

• Gọi $x$ và $y$ lần lượt là số bao loại $X$ và $Y.$ Điều kiện: $x \ge 0;\,\,y \ge 0.$

Số lượng chất dinh dưỡng A cần dùng để tạo thành hai loại thức ăn gia súc $X$ và $Y$ là: $2x + y \ge 12.$

Số lượng chất dinh dưỡng B  cần dùng để tạo thành hai loại thức ăn gia súc $X$ và $Y$ là: $2x + 9y \ge 36.$

Số lượng chất dinh dưỡng C  cần dùng để tạo thành hai loại thức ăn gia súc $X$ và $Y$ là: $2x + 3y \ge 24.$

Từ đó, ta có hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{2x + y \ge 12.}\\{2x + 9y \ge 36.}\\{2x + 3y \ge 24.}\end{array}} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d:x = 0$ chứa điểm $\left( {1;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}:y = 0$ chứa điểm $\left( {0;1} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $2x + y \ge 12$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}:2x + y = 12$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $2x + 9y \ge 36$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:2x + 9y = 36$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $2x + 3y \ge 24$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_4}:2x + 3y = 24$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là: miền không bị gạch với các đỉnh $A\left( {18;0} \right),$ $B\left( {9;2} \right),$ $C\left( {3;6} \right),$ $D\left( {0;12} \right).$

• Chi phí để mua hai loại thức ăn gia súc loại $X$ và $Y$ là: $F\left( {x;y} \right) = 250x + 200y$ (nghìn đồng).
• Ta có: $F\left( {18;0} \right) = 250.18 + 200.0 = 4500,\,\,F\left( {9;2} \right) = 250.9 + 200.2 = 2650,$

$F\left( {3;6} \right) = 250.3 + 200.6 = 1950,\,\,F\left( {0;12} \right) = 250.0 + 200.12 = 2400.$

Vậy chi phí nhỏ nhất để mua hai loại thức ăn gia súc loại $X$ và $Y$ là: $F\left( {3;6} \right) = 1950.$

Chọn A.