Giải bài 2.27 trang 27 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $F\left( {x;y} \right) = 2x + 3y$ với $\left( {x;y} \right)$ thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge  - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.$

Lời giải chi tiết

• Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge  - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}.} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $d:y \ge  - 1$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình ${d_1}:y \le 1$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}:x + y = 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình $y - x \le 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}:y - x = 4$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right).$

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{y \ge  - 1}\\{y \le 1}\\{x + y \le 4}\\{y - x \le 4}\end{array}} \right.$ là: hình thang cân $ABCD$ với $A\left( { - 3;1} \right),\,\,B\left( {3;1} \right),\,\,C\left( {5; - 1} \right),\,\,D\left( { - 5; - 1} \right).$

• Ta có: $F\left( { - 3;1} \right) = 2\left( { - 3} \right) + 3.1 =  - 6 + 3 =  - 3.$

$\begin{array}{l}F\left( {3;1} \right) = 2.3 + 3.1 = 6 + 3 = 9.\\F\left( {5; - 1} \right) = 2.5 + 3\left( { - 1} \right) = 10 - 3 = 7.\\F\left( { - 5; - 1} \right) = 2\left( { - 5} \right) + 3\left( { - 1} \right) =  - 10 - 3 =  - 13.\end{array}$

Vậy giá trị lớn nhất là $F\left( {3;1} \right) = 9,$ giá trị nhỏ nhất là: $F\left( { - 5; - 1} \right) =  - 13.$