Giải bài 2.26 trang 27 sách bài tập toán 10 - Kết nối tri thức với cuộc sống

Đề bài

Biểu diễn miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:

a) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x - y > 4}\end{array}} \right.$

b) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y - x \le 2}\end{array}} \right.$

c) $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x - y > 4}\end{array}} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $d:x \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $\left( {1;0} \right).$

Miền nghiệm của bất phương trình ${d_1}:x \le 10$ là nửa mặt phẳng bờ $d{}_1$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$.

Miền nghiệm của bất phương trình ${d_2}:y > 0$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$ chứa điểm $\left( {0;1} \right)$, bỏ đi đường ${d_3}$.

Miền nghiệm của bất phương trình $x - y > 4$. Vẽ đường thẳng ${d_3}:x - y = 4$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Chọn điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng ${d_3}$ và thay vào biểu thức $x - y,$ ta được $0 - 0 = 0 < 4$ nên miền nghiệm của bất phương trình $x - y > 4$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}$ không chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$, bỏ đi đường thẳng ${d_3}$.

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le x \le 10}\\{y > 0}\\{x - y > 4}\end{array}} \right.$ là $\Delta ABC$ với $A\left( {4;0} \right),$ $B\left( {10;0} \right),$ $C\left( {10;6} \right).$

b) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y - x \le 2}\end{array}} \right.$

Miền nghiệm của bất phương trình $d:y \ge 0$ là nửa mặt phẳng bờ $d$ chứa điểm $\left( {0;1} \right)$.

Miền nghiệm của bất phương trình ${d_1}:y \le 1$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_1}$ chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 2.$ Vẽ đường thẳng ${d_2}:x + y = 2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Chọn điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng ${d_2}$ và thay vào biểu thức $x + y,$ ta được: $0 + 0 = 0 < 2,$ nên miền nghiệm của bất phương trình $x + y \le 2$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_2}$chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$.

Xác định miền nghiệm của bất phương trình $y - x \le 2.$ Vẽ đường thẳng ${d_3}:y - x = 2$ trên mặt phẳng tọa độ $Oxy.$ Chọn điểm $O\left( {0;0} \right)$ không thuộc đường thẳng ${d_3}$ và thay vào biểu thức $y - x,$ ta được: $0 - 0 = 0 < 2,$ nên miền nghiệm của bất phương trình $y - x \le 2$ là nửa mặt phẳng bờ ${d_3}$chứa gốc tọa độ $O\left( {0;0} \right)$.

 

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{0 \le y \le 1}\\{x + y \le 2}\\{y - x \le 2}\end{array}} \right.$ là hình thang cân $ABCD$ với $A\left( { - 2;0} \right),\,\,B\left( {2;0} \right),\,\,C\left( {1;1} \right),\,\,D\left( { - 1;1} \right).$

c) Xác định miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.$

Ta có: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{2x - 3y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.\,\, \Leftrightarrow$hệ phương trình vô nghiệm

Miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{4x - 6y < 0}\\{2x - 3y \ge 1}\end{array}} \right.$ là hệ bất phương trình vô nghiệm.