Giải bài 3 trang 19 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 1

Đề bài

Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x$;

b) $\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}$;

c) $\frac{{\cos x - \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x - \sin 2x + \sin 3x}}$;

d) $\frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}} - \tan y$.

Lời giải chi tiết

a) $\sin x{\cos ^5}x - \cos x{\sin ^5}x$ $= \sin x\cos x\left( {{{\cos }^4}x - {{\sin }^4}x} \right)$

$= \sin x\cos x\left( {{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x} \right)\left( {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right)$ $= \frac{1}{2}\sin 2x\cos 2x$ $= \frac{1}{4}\sin 4x$

b) $\frac{{\sin 3x\cos 2x + \sin x\cos 6x}}{{\sin 4x}}$ $= \frac{{\frac{1}{2}\left( {\sin 5x + \sin x} \right) + \frac{1}{2}\left( {\sin 7x - \sin 5x} \right)}}{{\sin 4x}}$

$= \frac{{\sin x + \sin 7x}}{{2\sin 4x}}$ $= \frac{{2\sin 4x\cos 3x}}{{2\sin 4x}}$ $= \cos 3x$

c) $\frac{{\cos x - \cos 2x + \cos 3x}}{{\sin x - \sin 2x + \sin 3x}}$ $= \frac{{\left( {\cos x + \cos 3x} \right) - \cos 2x}}{{\left( {\sin x + \sin 3x} \right) - \sin 2x}}$ $= \frac{{2\cos 2x\cos x - \cos 2x}}{{2\sin 2x\cos x - \sin 2x}}$

$= \frac{{\cos 2x\left( {2\cos x - 1} \right)}}{{\sin 2x\left( {2\cos x - 1} \right)}}$ $= \cot 2x$

d) $\frac{{2\sin \left( {x + y} \right)}}{{\cos \left( {x + y} \right) + \cos \left( {x - y} \right)}} - \tan y$ $= \frac{{2\left( {\sin x\cos y + \cos x\sin y} \right)}}{{2\cos x\cos y}} - \frac{{\sin y}}{{\cos y}}$

$= \frac{{2\sin x\cos y + 2\cos x\sin y - 2\cos x\sin y}}{{2\cos x\cos y}}$ $= \frac{{2\sin x\cos y}}{{2\cos x\cos y}}$ $= \tan x$