Giải bài 3 trang 73 SGK Toán 10 tập 2 – Chân trời sáng tạo

Đề bài

Tìm tọa độ giao điểm và góc giữa hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ trong mỗi trường hợp sau:

a) ${d_1}:x - y + 2 = 0$ và ${d_2}:x + y + 4 = 0$

b) ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 3 + 2t\end{array} \right.$ và ${d_2}:x - 3y + 2 = 0$

c)  ${d_1}:\left\{ \begin{array}{l}x = 2 - t\\y = 5 + 3t\end{array} \right.$ và ${d_2}:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + 3t'\\y = 3 + t'\end{array} \right.$

Lời giải chi tiết

a) Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}x - y + 2 = 0\\x + y + 4 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - 3\\y =  - 1\end{array} \right.$

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {1.1 + ( - 1).1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {1^2}} }} = 0 \Rightarrow {d_1} \bot {d_2}$

Vậy hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc với nhau tại điểm có tọa độ $( - 3; - 1)$

b) Đường thẳng ${d_1}$ có phương trình tổng quát là: ${d_1}:2x - y + 1 = 0$

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}2x - y + 1 = 0\\x - 3y + 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x =  - \frac{1}{5}\\y = \frac{3}{5}\end{array} \right.$

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {2.\left( { - 1} \right) + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ$

Vậy hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ cắt nhau tại điểm có tọa độ $\left( { - \frac{1}{5};\frac{3}{5}} \right)$ và góc giữa chúng là $45^\circ$

c) Đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ lần lượt có phương trình tổng quát là:

${d_1}:3x + y - 11 = 0,{d_2}:x - 3y + 8 = 0$

Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng là nghiệm của hệ sau:

$\left\{ \begin{array}{l}3x + y - 11 = 0\\x - 3y + 8 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{5}{2}\\y = \frac{7}{2}\end{array} \right.$

$\cos \left( {{d_1},{d_2}} \right) = \frac{{\left| {3.1 + 1.( - 3)} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2}} }} = 0 \Rightarrow \left( {{d_1},{d_2}} \right) = 90^\circ$

Vậy hai đường thẳng ${d_1}$ và ${d_2}$ vuông góc tại điểm có tọa độ $\left( {\frac{5}{2};\frac{7}{2}} \right)$