Giải bài 4.34 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng với mọi điểm M, ta có:

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}$.

Lời giải chi tiết

Do ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow \overrightarrow {AM}  + \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {DM}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow  - \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MB}  =  - \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {MC} \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD} \end{array}$

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  \Leftrightarrow \overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}$ (*)

Áp dụng quy tắc hiệu ta có: $\overrightarrow {MA}  - \overrightarrow {MB}  = \overrightarrow {BA} ;\;\;\overrightarrow {MD}  - \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {CD}$

Do đó (*) $\Leftrightarrow \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {CD}$ (luôn đúng do ABCD là hình bình hành)

Cách 3:

Ta có:

$\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {MD}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}  + \left( {\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC} } \right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {DC}$$\Rightarrow  - \overrightarrow {BA}  = \overrightarrow {DC}$ hay $\overrightarrow {BA}  + \overrightarrow {DC}  = \overrightarrow 0$

$\Rightarrow \overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {MC}  = \overrightarrow {MB}  + \overrightarrow {MD}$ (đpcm)