Giải bài 4.36 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(1; 2), B(3; 4), C(-1; -2) và D(6;5).

a) Tìm tọa độ của các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \).

b) Hãy giải thích tại sao các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Giả sử E là điểm có tọa độ (a; 1). Tìm a để các vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.

d) Với a tìm được, hãy biểu thị vectơ \(\overrightarrow {AE} \) theo các vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {AC} \).

Lời giải chi tiết

a) Ta có:  \(\overrightarrow {AB}  = (3 - 1;4 - 2) = (2;2)\);

\(\overrightarrow {CD}  = (6 - ( - 1);5 - ( - 2)) = (7;7)\).

b) Dễ thấy: \((2;2) = \frac{2}{7}.(7;7) \Rightarrow \overrightarrow {AB}  = \frac{2}{7}.\overrightarrow {CD} \)

Vậy hai vectơ \(\overrightarrow {AB} \) và \(\overrightarrow {CD} \) cùng phương.

c) Ta có: \(\overrightarrow {AC}  = ( - 1 - 1; - 2 - 2) = ( - 2; - 4)\);

\(\overrightarrow {BE}  = (a - 3;1 - 4) = (a - 3; - 3)\).

Để \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương thì \(\frac{{a - 3}}{{ - 2}} = \frac{{ - 3}}{{ - 4}} \Leftrightarrow a - 3 =  - \frac{3}{2} \Leftrightarrow a = \frac{3}{2}\).

Vậy \(a = \frac{3}{2}\) hay \(E\left( {\frac{3}{2};1} \right)\) thì hai vectơ \(\overrightarrow {AC} \) và \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương.

d)

Cách 1:

Ta có: \(\overrightarrow {BE}  = \left( {\frac{3}{2} - 3; - 3} \right) = \left( { - \frac{3}{2}; - 3} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = ( - 2; - 4)\).

\( \Rightarrow \overrightarrow {BE}  = \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \).

Mà \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {BE} \) (quy tắc cộng)

\( \Rightarrow \overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \).

Cách 2:

Giả sử \(\overrightarrow {AE}  = m.\overrightarrow {AB}  + n.\overrightarrow {AC} \) (*)

Ta có:  \(\overrightarrow {AE}  = \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right)\);

\(m.\overrightarrow {AB}  = m\left( {2;2} \right) = (2m;2m)\);

\(n.\overrightarrow {AC}  = n( - 2; - 4) = ( - 2n; - 4n)\).

Do đó (*) \( \Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m;2m) + ( - 2n; - 4n)\)

\(\Leftrightarrow \left( {\frac{1}{2}; - 1} \right) = (2m - 2n;2m - 4n)\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\frac{1}{2} = 2m - 2n\\ - 1 = 2m - 4n\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m = 1\\n = \frac{3}{4}\end{array} \right.\).

Vậy \(\overrightarrow {AE}  = \overrightarrow {AB}  + \frac{3}{4}.\overrightarrow {AC} \).