Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho vectơ $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay còn được viết là $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$.

Lời giải chi tiết

Cho vectơ $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$. Chứng minh rằng $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay còn được viết là $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$.

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ $\overrightarrow a$ là (x; y).

Ta có: $|\overrightarrow a |\, = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$.

Đặt $\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a$

$\Rightarrow \overrightarrow i  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)$

$\Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}}  = \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1$

Mặt khác:

 $\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a$ và $\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0$ với mọi $x,y \ne 0$

Do đó vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow a$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$.

Cách 2:

Với mọi vectơ $\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0$, ta có:  $|\overrightarrow a |\; > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0$. Đặt $\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a$

$\begin{array}{l} \Rightarrow |\overrightarrow i |\, = \;|k.\overrightarrow a |\; = \;|k|.|\overrightarrow a |\;\\ \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {\,i} \,} \right| = k.|\overrightarrow a |\; = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\end{array}$

Mặt khác: $\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a$ và $k > 0$

Do đó vectơ $\overrightarrow i$ và $\overrightarrow a$ cùng hướng.

Vậy $\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a$ (hay $\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}$) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ $\overrightarrow a$.