Giải bài 4.37 trang 72 SGK Toán 10 – Kết nối tri thức

Đề bài

Cho vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \). Chứng minh rằng \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\;\overrightarrow a \) (hay còn được viết là \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Lời giải chi tiết

Cách 1:

Gọi tọa độ của vectơ \(\overrightarrow a \) là (x; y).

Ta có: \(|\overrightarrow a | = \sqrt {{x^2} + {y^2}} \).

Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a \)

\( \Rightarrow \overrightarrow i  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.(x;y) = \left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }};\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)\)

\( \Rightarrow |\overrightarrow i | = \sqrt {{{\left( {\frac{x}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{y}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}} \right)}^2}} \)

\(= \sqrt {\frac{{{x^2}}}{{{x^2} + {y^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{x^2} + {y^2}}}}  = 1\).

Mặt khác:

\(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a  = \frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }}.\overrightarrow a \) và \(\frac{1}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} > 0\) với mọi \(x,y \ne 0\).

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).

Cách 2:

Với mọi vectơ \(\overrightarrow a  \ne \overrightarrow 0 \), ta có:

\(|\overrightarrow a | > 0 \Rightarrow k = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}} > 0\).

Đặt \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \)

\(\Rightarrow |\overrightarrow i | = |k.\overrightarrow a | = |k|.|\overrightarrow a |\)

\(\Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {i} } \right| = k.|\overrightarrow a | = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.|\overrightarrow a | = 1\).

Mặt khác: \(\overrightarrow i  = \frac{1}{{|\overrightarrow a |}}.\overrightarrow a  = k.\overrightarrow a \) và \(k > 0\).

Do đó vectơ \(\overrightarrow i \) và \(\overrightarrow a \) cùng hướng.

Vậy \(\frac{1}{{|\overrightarrow a |}}\overrightarrow a \) (hay \(\frac{{\overrightarrow a }}{{|\overrightarrow a |}}\)) là một vectơ đơn vị, cùng hướng với vectơ \(\overrightarrow a \).