Giải bài 7 trang 76 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Cho hình hộp đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2a. Mặt phẳng (B’AC) tạo với đáy một góc ${30^0}$, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (D’AC) bằng $\frac{a}{2}$. Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’.

Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm của AC và BD.

Ta có: $AC \bot BD,AC \bot BB'$ $\Rightarrow AC \bot \left( {BB'D} \right)$ $\Rightarrow AC \bot B'O$

Khi đó, $BO \bot AC,B'O \bot AC,BO \subset \left( {ABCD} \right),B'O \subset \left( {B'AC} \right)$, AC là giao tuyến của (B’AC) và (ABCD). Do đó, $\left( {\left( {B'AC} \right),\left( {ABCD} \right)} \right) = \left( {BO,B'O} \right) = \widehat {B'OB} = {30^0}$

Ta có: $d\left( {B,\left( {D'AC} \right)} \right) = d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = \frac{a}{2}$

Chứng minh được: $AC \bot \left( {BB'D'D} \right)$ $\Rightarrow \left( {D'AC} \right) \bot \left( {BB'D'D} \right)$ và D’O là giao tuyến của (D’AC) và (BB’D’D).

Từ D kẻ $DH \bot D'O\left( {H \in D'O} \right)$. Do đó, $d\left( {D,\left( {D'AC} \right)} \right) = DH = \frac{a}{2}$

Xét tam giác B’OB vuông tại B có: $\frac{{BB'}}{{BO}} = \tan {30^0}$ $\Rightarrow OD = BO = \sqrt 3 BB'$

Xét tam giác D’DO vuông tại D, đường cao DH có:

$\frac{1}{{D{H^2}}} = \frac{1}{{O{D^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}}$ $\Rightarrow \frac{4}{{{a^2}}} = \frac{1}{{3BB{'^2}}} + \frac{1}{{D'{D^2}}}$ $\Rightarrow D'D = \frac{{a\sqrt 3 }}{3}$ $\Rightarrow OB = a$

Gọi I là giao điểm của BD’ và B’O, suy ra: $\frac{{BI}}{{D'I}} = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow d\left( {D',\left( {B'AC} \right)} \right) = 2d\left( {B,\left( {B'AC} \right)} \right)$ $\Rightarrow {V_{ACB'D'}} = 2{V_{B'ABC}}$

Tam giác AOB vuông tại O có: $OA = \sqrt {A{B^2} - O{B^2}} = \sqrt {4{a^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$

Diện tích tam giác ABC là: ${S_{ABC}} = 2{S_{ABO}} = 2.\frac{1}{2}.OB.OA = {a^2}\sqrt 3$

Suy ra: ${V_{B'ABC}} = \frac{1}{3}BB'.{S_{ABC}} = \frac{1}{3}.\frac{{a\sqrt 3 }}{3}.{a^2}\sqrt 3 = \frac{{{a^3}}}{3}$. Vậy ${V_{ACB'D'}} = \frac{{2{a^3}}}{3}$