Giải bài 9 trang 18 sách bài tập toán 11 - Chân trời sáng tạo tập 2

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

a) $y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x$ trên đoạn $\left[ {\frac{1}{3};3} \right]$;

b) $y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right)$ trên đoạn $\left[ { - \frac{1}{2};3} \right]$.

Lời giải chi tiết

a) Hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}x$ có cơ số $\frac{1}{{\sqrt 3 }} < 1$ nên nghịch biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Do đó, $\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( {\frac{1}{3}} \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}\frac{1}{3} = 2,\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ {\frac{1}{3};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _{\frac{1}{{\sqrt 3 }}}}3 =  - 2$

b) Vì $- \frac{1}{2} \le x \le 3 \Rightarrow \frac{1}{2} \le x + 1 \le 4$.

Hàm số $y = f\left( x \right) = {\log _2}\left( {x + 1} \right)$ có cơ số $2 > 1$ nên đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$.

Do đó, $\mathop {\min }\limits_{x \in \left[ { - \frac{1}{2};3} \right]} y = f\left( { - \frac{1}{2}} \right) = {\log _2}\left( {\frac{{ - 1}}{2} + 1} \right) =  - 1,\mathop {\max }\limits_{x \in \left[ { - \frac{1}{2};3} \right]} y = f\left( 3 \right) = {\log _2}\left( {3 + 1} \right) = 2$