Giải bài tập 1.8 trang 14 SGK Toán 12 tập 1 - Kết nối tri thức

Đề bài

Cho hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$.
a) Tính các giới hạn $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ và $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$. Từ đó suy ra hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.
b) Sử dụng định nghĩa, chứng minh hàm số có cực tiểu tại $x = 0$. (Xem Hình 1.4)

Lời giải chi tiết

a) $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{x}{x} = 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{\left| x \right| - 0}}{{x - 0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{ - x}}{x} =  - 1$

Vì $\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} \frac{{f\left( x \right) - f\left( 0 \right)}}{{x - 0}}$ nên hàm số không có đạo hàm tại $x = 0$.

b) Đồ thị hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$:

Ta có: $y = f\left( x \right) = \left| x \right| = \left\{ \begin{array}{l} - x\;khi\;x \in \left( { - \infty ;0} \right)\\x\;\;\;khi\;x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array} \right.$

Hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$ liên tục và xác định trên $\left( { - \infty ; + \infty } \right)$

Với số $h > 0$ ta có: Với $x \in \left( { - h;h} \right) \subset \left( { - \infty ; + \infty } \right)$ và $x \ne 0$ thì $y = f\left( x \right) = \left| x \right| > 0 = f\left( 0 \right)$

Do đó, hàm số $y = f\left( x \right) = \left| x \right|$ có cực tiểu là $x = 0$.